¿Multiplicativas funciones analíticas?

Question

Posible duplicado:
$f(z_1 z_2) = f(z_1) f(z_2)$ $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ y $f(z) = z^k$ $k$

Cómo podemos caracterizar las funciones analíticas definidas en el abra la unidad disco $D\subset\mathbb{C}$ que satisfacen $f(ab)=f(a)f(b)\text{ }$ % todo $a,b\in D$.

¿Qué sucede si tenemos en cuenta los dominios más grandes?

Answer 1

Diferenciando con respecto a los $a$ rendimientos $f^{(n)}(ab)b^n=f^{(n)}(a)f(b)$ % todo $a$y $b$ $D$ y para cada entero positivo $n$. En particular, $f^{(n)}(0)b^n=f^{(n)}(0)f(b)$ % todo $b$$D$y $n\in\mathbb N$. Si $f^{(n)}(0)=0$ % todo $n>0$, entonces el $f$ es constante, % o $0$ $1$. Si $f^{(n)}(0)\neq 0$ $n>0$, entonces el $f(b)=b^n$ % todos $b\in D$.

Answer 2

Tenemos $f(0) = f(0)f(b)$ por lo tanto, si $f$ no es la función constante igual a$1$,$f(0) =0$. Si $f$ no es la función constante igual a $0$, entonces podemos encontrar $k\in\mathbb{N}^*$ tal que $f(z) = z^kg(z)$ $g(0)\neq 0$ $g$ analítica. Obtenemos $a,b\neq 0$ que $g(a)g(b) =g(ab)$ y por la continuidad de todos los $a$$b$. Tenemos $g(0)=g(0)g(b)$ por lo tanto $g(z)=1$ todos los $z$. Finalmente, las únicas soluciones son $f(z)=0$, $f(z)=1$ y $f(z)=z^k, k\in\mathbb{N}$.

Hemos utilizado el hecho de que la unidad de disco está conectado; el resultado puede ser extendida para cada abierto conectado subconjunto de $\mathbb C$ que contiene $0$.

Answer 3

Supongamos que $f(0)\neq 0$. Luego desde $f(0)=f(0)f(b)$ para cualquier $b$, podemos ver que $f(b)=1$ cada $b$, $f$ es idénticamente la función constante. Supongamos que $f(0)=0$. Entonces $f(z)=z^m g(z)$ $g$ $g(0)\neq 0$. Desde $f$ y $z^m$ son multiplicativos, así que es $g(z)$. Pero en la primera parte, $g(z)=1$ % todo $z$y es idénticamente la función constante. Por lo tanto, $f(z)=z^m$.

Conclusión: $f(z)=z^m$ de algunos nonegative entero.