Deje $P={2,3,5,7,11,...}$ denota el conjunto de todos los números primos menos de ${ 2 }^{ 100}$.
Demostrar que $\sum _{ p\in P }^{ }{ \frac { 1 }{ p } } < 8$.
No entiendo cómo avanzar en el problema. Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.
Respuestas
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Rosser y Schoenfeld en fórmulas Aproximadas para algunas funciones de los números primos dar una forma explícita de Mertens' segundo teorema, un límite superior válido para todos los $x>1$: $$ \sum_{p\le x} \frac1p < \log \log x + B + \frac1{\log^2x} $$ donde $B \approx 0.26149\cdots$. Esto le da $$ \sum_{p\le 2^{100}} \frac1p < 4.51 < 8 $$ Sin embargo, este argumento es muy probable que no en el espíritu de la pregunta.
stgatilov
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El problema puede ser resuelto fácilmente si se puede usar el siguiente enlazado en el primer función de recuento $\pi(n)$ (tomado de aquí): $$\pi(n) / \frac{n}{\ln{n}} \le C = 1.25506$$
La reescritura se suma a través de $\pi(n)$: $$ \sum_{p \P} \frac{1}{p} = \sum_{k=1}^{2^{100}}\frac{\pi(k) - \pi(k-1)}{k} $$
Ahora el uso de la sumación por partes, con $k$ a partir de $a > 1$: $$ \sum_{k=a}^{2^{100}}\frac{\pi(k) - \pi(k-1)}{k} = \left[ \frac{\pi(2^{100})}{2^{100} + 1} - \frac{\pi(a-1)}{a} \right] - \sum_{k=a}^{2^{100}}\pi(k)\left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k}\right) $$ Olvidarse de la parte entre paréntesis, debe ser fácil de enlazado de manera eficiente. La suma en la parte principal puede ser delimitada: $$ -\sum_{k=a}^{2^{100}}\pi(k)\left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k}\right) = \sum_{k=a}^{2^{100}}\frac{\pi(k)}{k(k+1)} \le \sum_{k=a}^{2^{100}}\frac{C \; k}{k(k+1)\ln{k}} \le C \sum_{k=a}^{2^{100}}\frac{1}{k\ln{k}} $$ Podemos enlazado a esta suma a través de la integración. Definir la función $f(x) = (x \ln x)^{-1}$. Se disminuye monótonamente para $x > 1$, lo $(k \ln k)^{-1} \le \int_{k-1}^{k} f(x) dx$. Por lo tanto: $$ \sum_{k=a}^{2^{100}}\frac{1}{k\ln{k}} \le \int\limits_{un-1}^{2^{100}-1} \frac{dx}{x \ln x} = \ln \ln x \bigg\rvert_{un-1}^{2^{100}-1} \le \ln \ln 2^{100} = 4.23865\ldots $$ Multiplicando este valor por $C$ anterior, obtenemos un atado $5.32 < 8$. Sin embargo, también tenemos que añadir la parte de los corchetes y el original de la suma de $k < a$.
