Cómo evaluar :
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x^2+1} dx$$
La integral de $-\infty$ a $\infty$ es bastante fácil, pero cómo podríamos integrar esta función desde $0$ a $\infty$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Derick Bailey
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Utilizando el hecho de que $x^2+1=(x-i)(x+i)$ podemos reescribir la integral como $\displaystyle\frac1{2i}\bigg(\int_0^\infty\frac{\sin x}{x-i}dx$ $-\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}{x+i}\bigg)$ y luego expresar cada uno de ellos en términos de integrales trigonométricas , reescribiendo $\sin x$ como $\sin\Big((x\pm i)\mp i\Big)$ y, a continuación, empleando el fórmula de adición de ángulos para $\sin(a\pm b)$ . A diferencia de
la integral relacionada $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\frac\pi{2e}$ , ésta no parece poseer una forma cerrada que
no implica funciones especiales.
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@Martín-BlasPérezPinilla la integral en $(0,\infty)$ Sin embargo, parece ser más sencillo.
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@TZakrevskiy, la integral en $(-\infty,\infty)$ ¿quieres decir? Sí, es trivialmente cero por simetría.
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@Martín-BlasPérezPinilla no, he escrito lo que quería decir. En tu enlace sólo aparece la integral indefinida y las propiedades de $\frac{\sin x}{x^2+1}$ El
integrateparte se descarta. Una consulta correcta (en una de las varias notaciones que wolframalpha entiende) debería serIntegrate[Sin[x]/(x^2+1),{x,0,Infty}]0 votos
@TZakrevskiy, tienes razón, ¡qué tonta soy!
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No hay solución en términos de funciones elementales; Mathematica devuelve un resultado en términos de la integral exponencial o la integral hiperbólica. ¿Sirve de algo que publique esto?
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Las integrales no se resuelven, resolver significa otra cosa no relacionada con las integrales.