Un ejercicio de adivinar por el club

Question

Me encontré con este club para adivinar el ejercicio sobre el Cardenal Aritmética por Abraham y Magidor en el Manual de la Teoría de conjuntos.

Deje $\kappa, \lambda$ ser regular cardenales $\kappa^{++}<\lambda$ y deje $F$ (parcial) de la función de $:\ \subseteq [\lambda]^{<\kappa}\to \lambda$. Para cada una de las $\delta\in S^\lambda_{\kappa^{++}}$ (cardenales en $\lambda$ con cofinality $\kappa^{++}$), existe un club de $E_{\delta}$ tal que $[E_{\delta}]^{<\kappa}\subseteq dom(F)$. Espectáculo $S=\{\alpha\in S^\lambda_\kappa: \exists club \ D\subseteq \alpha \forall a,b\in D (a<b\rightarrow F(\{d\in D: d\leq a\})<b)\}$ es estacionaria.

Lo que puedo hacer hasta el momento es de suponer que $F$ es total, y luego se dispersa de los elementos en el club por la función $F$. Esto es lo que he probado hasta ahora: Suponga $F$ es total. Fijar un club de $E\subset \lambda$. Fijar un club que consiste en adivinar la secuencia de $\langle C_i: i\in S^{\kappa^{++}}_\kappa\rangle$. Por inducción en $\alpha<\kappa^{++}$ construir un conjunto de club. Supongamos que ya hemos definido $F_\alpha\subset E$ si $\sup(F_\alpha)$ aún no se encuentra en $F_\alpha$, lo puso y pasar a la siguiente etapa (en particular, en el límite del escenario, asegúrese de que la secuencia de elementos es continua). De lo contrario, la lista de $F_\alpha$$\langle f_j: j<\alpha\rangle$. Pick $f_{\alpha+1}$ menos en $E$ que es mayor que $\sup_{k<i}F(\{f_j: j\in C_i \wedge j<\min\{k,\alpha\} \})$ todos los $i\in S^{\kappa^{++}}_\kappa$. De esta manera, podemos construir un club de $E_{\delta}\subset \delta\cap E$ de tipo de orden $\kappa^{++}$ algunos $\delta$ de cofinality $\kappa^{++}$. Lista de ellos como $\langle e_i: i\in \kappa^{++}\rangle$. Luego de los clubes de adivinanzas, existe alguna $i\in S^{\kappa^{++}}_\kappa$ tal que $C_i\subseteq \{j\in \kappa^{++}: e_j\in E_{\delta}\}$. A continuación, $e_i\in E\cap S$ como se desee.

Ahora incorporar a $E_\delta$, me temo que podría estropear con el original de los índices de si lo hago como anteriormente. Cualquier idea se agradece!

Answer 1

Después de pensar un rato, creo que podría probar la declaración original de la siguiente manera.

La modificación del argumento anterior es cuando la definición de continuo $f_{\alpha+1}\in E$ lo tomamos tal que es mayor que $\sup_{k<i} F({f_j:j\in C_i∧j\leq\min\{k,\alpha\}})$ todos los $i\in S^{\kappa^{++}}_\kappa$ siempre que el valor de F está definida (si es que no se define sólo tomamos cualquier disposición que no ha sido recogido antes). Ahora de nuevo tenemos $\delta$ con cofinality $\kappa^{++}$ tal que $F_{\delta}\subset E$ a un club. Deje $E_\delta\subset \delta$ un club dado como en la asunción tal que $[E_\delta]^{<\kappa}\subset dom(F)$. Deje $D=E_\delta\cap F_{\delta}$ $D$ es también un club en $\delta$. Observe también que $L=\{j<\kappa^{++}: f_j\in E_{\delta}\}$ es un club en el $\kappa^{++}$. El club de adivinanzas, para algunos $i\in S^{\kappa^{++}}_\kappa$tenemos un club de $C_i\subset L$ (por lo $i \in L$). Verificar la propiedad de $P=\{f_k: k\in C_i\}$ club en $f_i$. Dado $p<q\in C_i$, mediante la construcción tenemos $F(\{f_d\in F_\delta: d\in C_i \wedge d\leq p\}) < f_{p+1}\leq f_q$. Por lo tanto,$f_i\in E\cap S$$cf(f_i)=\kappa$.