Que $*$ ser una operación tal que $(xy)^* = y^*x^*$, por ejemplo si $x,y$ matrices de $2\times2$ y $*$ es "tomar el inverso" o si $x,y$ son los operadores y si $*$ es el adjunto.
¿Hay un nombre para dicha propiedad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En teoría del anillo no conmutativo (que podría aplicarse a las matrices de real), un mapa $\phi:R\to R$ tal que $\phi(ab)=\phi(b)\phi(a)$ y $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ pueden ser llamados un homomorfismo de anillo $R\to R^{\operatorname{op}}$.
¿Qué es $R^{\operatorname{op}}$? Básicamente si $(R,+,\cdot)$ es un anillo, $R^{\operatorname{op}}$ es el anillo $(R,+,\cdot^{\operatorname{op}})$ dado en $a\cdot^{\operatorname{op}}b:=b\cdot a$, mientras que la suma sigue siendo la misma.
mweiss
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No estoy seguro de si hay un nombre general para esto (aparte de "orden revertir homomorphism", o "un homomorphism $R \to R^{op}$", como dijo en la respuesta de G. Sassatelli), pero muchas de las operaciones de esta naturaleza (incluyendo tanto de los que mencionas) son involuciones.
Otros ejemplos incluyen:
- La operación de inversión en cualquier anillo: si $a$ $b$ son invertible elementos, a continuación,$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.
- La operación de transposición de matrices: si $M$ $N$ son dos matrices para las cuales el producto $MN$ está definida,$(MN)^T = N^T M^T$.
Tenga en cuenta que cualquier involución necesariamente lleva a la identidad a sí mismo: $M^* = (1 \cdot M)^* = M^* \cdot 1^* $, por lo tanto $1^*=1$.
Editado para añadir: Solo para aclarar, no todos los involuciones tiene la propiedad deseada; como Dmitry Rubanovich señala en los comentarios, una involución no necesariamente en orden inverso (aunque la mayoría de los interesantes). Y por el contrario no todo orden inversión homomorphism es una involución; involuciones son todos bijective y satisfacer $x^{**}=x$, que no tiene por qué ser el caso de un orden arbitrario-revertir homomorphism. Pero, como escribí originalmente) muchas de las operaciones de esta naturaleza, incluyendo dos de los ejemplos en el OP -- son involuciones, y *-álgebras (por Federico Poloni del comentario) proporcionan una rica fuente de ejemplos adicionales.
zyx
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Anti- (automorphism | endomorfismo | homomorphism | isomorfismo) de (grupos | anillos | monoids | semigroups | álgebras... ).
Las oraciones de ejemplo:
La inversión de la operación en un grupo es una antiautomorphism de ese grupo. Matriz transpuesta es un antiautomorphisms de el anillo de matrices. La conjugación es un antiautomorphism de cuaterniones y octonions. [ Más https://en.wikipedia.org/wiki/Antihomomorphism ]
Esos son los ejemplos más comunes y también son involuciones (realiza la operación dos veces devuelve al estado inicial).
Es más común decir anti*morfismos o de la orden de inversión de morfismos, que hablar de una de morfismos la op-estructura en el mismo objeto.
aleph_aleph_null
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No creo que esta es la norma, pero mi libro de texto de álgebra abstracta (Contemporáneo Álgebra Abstracta por Gallian) se refiere al hecho de que $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ como los "Calcetines-Zapatos de Propiedad" (pones los calcetines antes de que sus zapatos, pero si desea deshacer la operación, es necesario quitarse los zapatos antes de quitarse los calcetines). Así, un "calcetines-zapatos de operación" podría ser posible, si informales, el plazo para ello.
