¿Bras y mercados tienen dimensiones?

Question

Estoy tratando de comprender de una forma más intuitiva de lo que los sujetadores y las tfe son, pero algunos aspectos de ellos siguen siendo un misterio para mí.

Normalmente pensamos en el $\psi (x)$ como tener dimensión de $[1/\sqrt{L}]$, de modo que el cuadrado y multiplicando con una distancia diferencial podría resultar en una cantidad adimensional. Un ejemplo de esto es:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \mid\psi(x)\mid^2 dx= 1$$ para normalizada wavefunctions. También sé que es posible escribir un ket en la posición de base como:

$$\mid \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \mid x \rangle dx$$

Me gustaría creer que $ \mid \psi \rangle$ no tiene unidades, puede ser representado en la posición o el impulso de la base, de modo de contar con unidades no hacer un montón de sentido, pero esto me lleva a la conclusión de que $\mid x \rangle$ deben tener las mismas unidades que la función de onda con el fin de cancelar la longitud de las unidades de $dx$!

Es esto correcto? Si es así, ¿cuál es su interpretación física? ¿la posición y el impulso de las tfe han unidades después de todo?

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante. No sé si hay una general y una respuesta definitiva, pero voy a tratar de hacer algunos comentarios. Pido disculpas si esto termina divagando; me estoy encontrando esto mientras escribo esta respuesta.

Los operadores tienen dimensiones, ya que sus valores propios son cantidades físicas. Para los sujetadores y las tfe se vuelve más complicado. En primer lugar, usted no puede decir en general, que son adimensionales. Para ver por qué, considere la posibilidad de un estado con una posición determinada $|x\rangle$. Desde $\langle x | x' \rangle = \delta(x-x')$ y la delta de Dirac tiene el inverso de la dimensión de su argumento, debe ser que $[ \langle x | ] \times [ | x \rangle ] = 1/L$. Una relación similar se tiene para el impulso autoestados. Por supuesto, hay poderes superiores de $L$ en dimensiones superiores.

Sin embargo, considere la posibilidad de un operador con discreta del espectro, tales como el de energía en un átomo o algo por el estilo. Entonces la ecuación es $\langle m | n \rangle = \delta_{mn}$, y desde este delta es adimensional, los sujetadores y las tfe debe tener inversa dimensiones. Esto pone aún más extrañas cuando se considera que el Hamiltoniano para un átomo de hidrógeno ha discretos y continuos autovalores, así que la relación entre los sostenes y las tfe' dimensiones serán diferentes dependiendo de la energía (o cualquier cantidad física es apropiado).

Tenemos la ecuación de $\langle x | p \rangle = \frac1{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp(ipx/\hbar)$. Yo al principio pensaba que esto, combinado con $[\langle x |] \times [| p \rangle ] = [\langle p |] \times [| x \rangle ]$ nos permitiría encontrar las dimensiones de $|x\rangle$ (y todo lo demás), pero resulta que la normalización de las condiciones de $|x\rangle$ $|p\rangle$ de la fuerza de las dimensiones de $\langle x | p \rangle$ a venir a la derecha. Podemos encontrar que $[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, pero no podemos ir más allá. Relaciones similares se aplican para los estados propios de su favorito de operador.

Cualquier ket es una combinación lineal de eigenkets, pero de nuevo hay sutilezas dependiendo de si el espectro es discreto o continuo. Supongamos que tenemos dos variables observables $O_1$ $O_2$ con espectro discreto y autoestados $|n\rangle_1$$|n\rangle_2$. Cualquier estado $|\psi\rangle$ puede ser expresado como una adimensional combinación lineal de los autoestados (adimensional porque desde $\langle n | n \rangle = 1$, las plazas de la coefficientes conforman probabilidades): $|\psi\rangle = \sum_n a_n |n\rangle_1 = \sum_n b_n |n\rangle_2$. Esto implica que el eigenkets de todos los observables con discreta del espectro tienen las mismas dimensiones, y de la misma manera para el eigenbras.

Se pone más difícil para los observables con espectro continuo como$x$$p$, debido a la integración de la medida. Tenemos $|\psi\rangle = \int f(x) |x\rangle\ dx = \int g(p) |p\rangle\ dp$. $\langle \psi | \psi \rangle = 1$ implica $\int |f(x)|^2\ dx = 1$, por lo que el$[f] = 1/\sqrt{L}$, y, asimismo,$[g] = \sqrt{T/ML}$. Esto no debería ser una sorpresa ya que $f$ $g$ son las transformadas de Fourier de cada una de las otras, con un $1/\sqrt{\hbar}$ tirado. De esto podemos deducir $[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, lo que ya sabíamos, y $\sqrt{L} [|x \rangle] = [|n \rangle]$.

La conclusión parece ser la siguiente. Todos eigenkets con discretos autovalores debe tener las mismas dimensiones, pero parece que esa dimensión es arbitraria (por lo que podría llevarlos a ser adimensional). Además, se normalizaron los estados tienen la misma dimensión. Autoestados con espectro continuo son más complicados; si tenemos un observable $A$ (continuo con autovalores) con autovalores $a$, entonces podemos usar el hecho de que $|\psi\rangle$ puede escribirse como una integral sobre autoestados de $A$ o como una suma de más discretos autoestados encontrar ese $\sqrt{[a]} [|a\rangle] = [|n\rangle]$ donde $|n\rangle$ es discretas eigenket. Así que una vez que arreglar las dimensiones de un ket, fijar las dimensiones de cada una de las otras ket.

Answer 2

Muy buena pregunta.

Las mediciones de la unidad, pero en la mecánica cuántica, una medición es la "evaluación" de un observable en un estado (o de un estado en un observable) algo como $$ \left\langle \psi | A | \psi \right\rangle ,\quad \psi\in\mathcal{H},\ A\in\mathcal{B}(\mathcal{H}) \ \text{self-adjoint}$$ A priori, parece ser que hay una arbitrariedad en la elección de la unidad de $|\psi\rangle$$A$, pero generalmente la medición es una combinación convexa de los autovalores de a $A$ (o un integrante de una densidad de probabilidad en el espectro), de modo que los autovalores realmente tiene unidad que de lo observable (la longitud es de lo observable es la posición, la Masa multiplicada por la velocidad si es que el impulso observables)

Si $\left\lVert \psi\right\rVert^2 $ interpretación de densidad de probabilidad de presencia que tiene una unidad de $\frac{1}{Volume}$ (o longitud en 1 dimensión) que cancela la $dx$ de integración (como usted ha escrito en su primera ecuación). Así que si $|\psi\rangle$ no tiene dimensión, a continuación,$|x\rangle$, de hecho, tiene dimensión $\frac{1}{\sqrt{L}}$ (L longitud).

OOOhhhh, grande posible confusión viene de la teoría cuántica de campos (y también en el caso en segunda cuantización de schrödinger eq. ) cuando uno escribe la acción como un funcional de los campos, estos tienen dimensiones, pero son los operadores y jugar un papel que es más similar a la observable $A$ más que un estado.