Probar: Si $a^2+b^2=1$ y $c^2+d^2=1$ y $ac+bd\le1$

Question

Probar: Si $a^2+b^2=1$ y $c^2+d^2=1$ y $ac+bd\le1$

Me parece que la lucha con esta sencilla prueba. Todo lo que he conseguido encontrar es que ac + bd =-4 (que puede no incluso ser correcta).

Answer 1

Método 1

$\begin{align}\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=1& \implies (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=1\\&\implies (ac+bd)^2\le1\end{align}$

2 º método

$\begin{align}\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)=2& \implies \left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+d^2\right)=2\\&\implies 2(ac+bd)\le 2\qquad \text{(by A.M.- G.M. Inequality)}\\&\implies (ac+bd)\le 1\end{align}$

Answer 2

También puede escribir los números en términos de senos y cosenos y utilizar la fórmula de la suma.

Para ser más precisos, escriba $a=\sin x,b=\cos x,d=\sin y,c=\cos y$% y note $ac+bd=\sin(x+y)$, de hecho también $\cos(x+y)=bc-ad$ por lo que obtenemos $$a^2+b^2=1,c^2+d^2=1\implies (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=1$ $

Esto también se aprecia si consideramos multiplicación compleja. Como usuario de que Aryabhata señala, estamos demostrando $|z|=|w|=1\implies |zw|=1$. Podemos mostrar de manera más general que la norma compleja es multiplicativa, por supuesto.

Answer 3

Puede utilizar la desigualdad de Cauchy Schwarz : $$(ac+bd)^2 \leq (a^2+b^2)\cdot(c^2+d^2)$ $ $$(ac+bd) \leq 1 $ $

Answer 4

Esto está pidiendo que muestran que el producto escalar de dos $2$-dimensiones de la unidad de vectores es en la mayoría de uno, y sigue de inmediato si usted sabe acerca de una determinada fórmula relacionados con el producto escalar: $$ ac + bd = \langle a, b \rangle \cdot \langle c, d \rangle = \|\langle a, b \rangle\| \|\langle c, d \rangle\| \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2}\cos\theta = \cos\theta \leq 1 $$ (donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores). Esto es básicamente la de Cauchy-Schwarz desigualdad: $$ ac + bd \leq \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2} = 1 $$

Answer 5

$(ac+bd)^2 - (a^2+b^2)(c^2+d^2) = -(ad-bc)^2 \leq 0 \to (ac+bd)^2 \leq 1 \to ...$