Integral de Lebesgue es finito pero las funciones son sin límites en cada intervalo

Question

La siguiente es una pregunta en mi examen de mitad de período.

Que $f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser un siguientes de Lebesgue integrables funciones tales que \int_{-\infty}^{\infty $$} f_n(x) dx = 1 $ y $\sup_n f_n$ son ilimitada en cada intervalo abierto. Encontrar una secuencia de $f_n$'s.

He intentado pensar en el sentido que para cada número irracional mis funciones $0$. Pero soy incapaz de continuar por esta dirección ya que no sé cómo manipular las funciones en números racionales para cumplir con los criterios anteriores.

Answer 1

¿Que $f_0$ ser función ilimitada en un barrio de $0$ con integral finito, por ejemplo $$f_0(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|}} \chi_{[-1,1]}.$$ You may need to rescale to make sure it has integral $1$. If $\{r_n\}$ is an enumeration of the rationals (or any dense countable set) you can define $$f_n(x) = f_0(x-r_n)$$ so that $f_n$ has integral $1$ but is unbounded on every neighborhood of $r_n$. What can you say about $\sup_n f_n$?

Answer 2

Que $h(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\exp{(-x^2)}$. Escojo esta porque $\int_{-\infty}^{\infty}h(x)dx = 1.$

Que $g_n(x) =\begin{cases} 0 &\mbox{if } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \\ n & \mbox{if } x \in \mathbb{Q} \end{casos} $

Que $f_n := g_n + h$

Esto funciona como $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ y tiene Lebesgue medida $0$, $f_n$ % integrable de lebesgue $ \forall n \int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)dx = 1 $y $\sup_n f_n = \infty$ en cada intervalo abierto.

Answer 3

Empujar todo el camino hasta el extremo, basta una sola función que puede hacer todo el trabajo: Vamos a $g_i(x)$ por

$$ g_i(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \mathbf{1}_{(0, 4^{-i})}(x). $$

Observe que $g_i$ es ilimitado en cualquier barrio de $0$ y su integral sobre la $\Bbb{R}$$2^{-i}$. Ahora enumerar $\Bbb{Q}$ $\{r_1, r_2, \cdots\}$ y definen $f$ por

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} g_i(x - r_i). $$

Aplicando el teorema de convergencia monótona, esta función no es negativo, integrable con $\int_{\Bbb{R}} f = 1$, e ilimitada cerca de cualquier número racional. Consequntly esta función es ilimitado en cualquier intervalo abierto.

Por último, tome $(f_n) = (f, f, f, \cdots)$.

Answer 4

Que $q_1,q_2, \dots$ ser la racionales. Definir $f(x) = \chi_{(0,1)} + \sum_{k=1}^{\infty}n\chi_{\{q_n\}}.$ la secuencia $f,f,f,\dots $ luego hace el trabajo.