La parte I No paramétrico de la discusión de la delgadez.
cada punto en el interior está muy cerca de un punto en el límite.
Esto dice precisamente que la inradius es pequeño. El inradius (para los inscritos de radio) es la máxima radio de un disco abierto encerrada por la curva. Por ejemplo, el rectángulo de dimensiones $a,b$ ha inradius $\frac12 \min(a,b)$.
Queda por responder: pequeño en comparación con qué? Hay dos opciones razonables:
- outradius: el mínimo radio de un disco cerrado que contiene a la curva.
- diámetro: es la máxima distancia entre cualquier par de puntos de la curva.
El primero es atractivo debido a su simetría con inradius. La última es más fácil de encontrar en la práctica. Realmente no importa cuál elija, porque son comparables por cualquier plano de conjunto:
$$ \sqrt{3} \operatorname{outradius} \le \operatorname{diameter} \le 2\operatorname{outradius} \tag1$$
La parte II, Relación con bi-Lipschitz parametrización
Ahora piensa en los lados del rectángulo, o el límite de la elipse, como la imagen de un Jordania curva de $f:S^1→\mathbb R^2$.
Esto cambia un poco el juego, debido a una muy buena curva (por ejemplo, un círculo) tiene el proceso de parametrización que horriblemente distorsionar pares distancias. Al parecer, desea una descripción de skinniness en términos de parametrización $f$. Considere la posibilidad de la bi-Lipschitz condición:
$$
L^{-1}\le \frac{|f(\theta)-f(\theta')|}{|\theta\theta'|} \le L \tag2
$$
Yo prefiero usar el cordal métrica para $|\theta-\theta'|$: es decir, la distancia Euclidiana entre dos puntos de $\theta,\theta'$. Con esta elección, (2) implica que el diámetro de $f(S^1)$ es en la mayoría de las $2 L$ (obviamente) y su inradius es, al menos, $L^{-1}$ (no como obviamente). Por lo tanto, $L$ controles de el diámetro/inradius relación: si $L$ no es muy grande, entonces la imagen no es demasiado flaco.
A la inversa no funciona: no flaco curva no permiten en general un bi-Lipschitz de la parametrización. Por ejemplo, un minúsculo cúspide añadido a un disco de radio $1$ se opone a la posibilidad de un bi-Lipschitz de la parametrización. Para evitar esto, es posible que desee relajarse bi-Lipschitz requisito permitiendo una constante aditiva:
$$
L^{-1}|\theta\theta'|-M\le {|f(\theta)-f(\theta')|} \le L|\theta\theta'|+M \tag3
$$
pero esto es sólo una idea vaga de mi parte; no sé si esto conduce a una caracterización de la no-skinniness en términos de parametrización.
Parte III Provisional paramétrico de la definición de la delgadez: una simple curva cerrada $\Gamma$ $\epsilon$- delgado, si existen dos homeomorphisms $f:S^1\to \Gamma$ $g:S^1\to\Gamma$ tal que
- $f$ $g$ traverse $\Gamma$ en direcciones opuestas (en sentido horario y antihorario)
- $\max |f-g| \le \epsilon$
En efecto, supongamos que 1 y 2 se mantenga, y $a$ es un punto en el interior de $\Gamma$. El argumento que me dio en otros lugares se aplica: las curvas de $f$ $g$ no homotópica en $\mathbb R^2\setminus \{0\}$, ya que su liquidación números son diferentes. En particular, el de línea recta homotopy entre el $f$ $g$ debe pasar a través de $a$. De ello se desprende que no existe $\theta\in S^1$ tal que $f(\theta)-a$ $g(\theta)-a$ son los vectores que apuntan en direcciones opuestas. Desde
$$|f(\theta)-a|+|g(\theta)-a| = |f(\theta)-g(\theta)|\le \epsilon$$
de ello se desprende que la inradius de $\Gamma$ es en la mayoría de las $\epsilon/2$.
Un equivalente, y posiblemente la forma más atractiva de la definición anterior: para cualquier homeomorphism $f:S^1\to \Gamma$ existe un sentido de marcha atrás homeomorphism $\psi:S^1\to S^1$ tal que $\max|f-f\circ \psi|\le \epsilon$.
Es fácil ver que ambas elipses y rectángulos satisfacer la definición anterior de la delgadez. Pero, por desgracia, hay curvas de pequeño inradius que no cumplen, como este:
![cross]()
