Los números primos, lo que explica este patrón?

Question

Esta mañana recibí un mensaje en el Activo Mathematica yahoo lista de correo de la firma "en cero" pidiendo para calcular esta suma:

$$\sum _{k=1}^n \frac{\log (p_k)}{\log (p_n)}$$

where $p_n$ es el n-ésimo número primo.

O como un programa en Mathematica:

N[Table[Sum[Log[Prime[k]]/Log[Prime[n]], {k, 1, n}], {n, 1, 10}]]

con la salida de partida:

{1., 1.63093, 2.11328, 2.74787, 3.22992, 4.01955, 4.63896, 5.46372, 6.1308, 6.70876}

El uso de los números primos de la lista de la oeis, http://oeis.org/A000040/a000040.txt He calculado la suma de hasta el 100 000 - ésimo número primo.

Interesado en lo que la trama se ve como tengo aproximadamente lineal de la trama, el uso de la ListLinePlot comando:

Pero lo que me parece más interesante es la ListPlot de las primeras diferencias de la suma:

Lo explica de modo similar, en forma de curvas en esta segunda trama? También hacen este tipo de curvas tiene un nombre?

La fórmula para datos en la segunda trama es: $$\sum _{k=1}^n \frac{\log (p_k)}{\log (p_n)}-\sum _{k=1}^{n-1} \frac{\log (p_k)}{\log (p_{n-1})}$$

Editar 20.4.2013:

Para la comparación he aquí agregar el ListLinePlot de datos en la segunda trama:

que no revele ningún patrón.

Answer 1

Recordar el primorial función de $p_n\#$. De acuerdo a Wikipedia, que tiene un crecimiento asintótico de:

$$p_n\# \sim n^{n(1+o(1))}$$

Como consecuencia del Teorema de los números Primos, tenemos $p_n \sim n \log n$.

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Ahora observar que:

$$\sum_{k=1}^n \frac{\log p_k}{\log p_n} = \frac{\log(p_n\#)}{\log p_n}$$

Conectar estos valores asintóticos obtenemos:

$$\sum_{k=1}^n \frac{\log p_k}{\log p_n} \sim \frac{n(1+o(1)) \log n}{\log n + \log \log n} \sim n(1+o(1))$$

donde en el último paso fue utilizado ese $x \gg \log x$$x > 1$.

De hecho, el comportamiento asintótico indica que el crecimiento de su suma es aproximadamente lineal.

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Editar Se llama distancia de forma inesperada; nada tengo que decir sobre el ListPlot es lo suficientemente descrita en achille hui de la respuesta. Juntos nuestras respuestas deben proporcionar una buena visión general de lo que está pasando.

Answer 2

Deje $\Delta_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\log p_k}{\log p_n}$$s_n = p_n - p_{n-1}$, tenemos:

$$\Delta_n - \Delta_{n-1} = 1 + \Delta_{n-1}\left(\frac{\log p_{n-1}}{\log p_n} - 1 \right) = 1 + \Delta_{n-1}\frac{\log (1 - \frac{s_n}{p_n})}{\log p_{n}} \sim 1 - \frac{\Delta_{n-1}}{p_n\log p_n} s_n$$

Basado en el Señor Farin la respuesta, tenemos:

$$\Delta_n \sim n \;\text{ and }\;p_n \log p_n \sim n (\log n)^2 \implies \Delta_n - \Delta_{n-1} \sim 1 - \frac{s_n}{(\log n)^2}$$

Las diferentes ramas en la ListPlot no es nada especial. Ellos sólo reflejan el discreto/aleatoriedad de la brecha $s_n$ entre los sucesivos números primos.