Sea X un espacio métrico contractible y G un grupo topológico que actúa transitivamente sobre X (es decir, dados dos puntos cualesquiera x,y \in X, existe g \in G tal que gx=y).
Mi pregunta es la siguiente: ¿es cierto que dado cualquier x \in X su estabilizador Stab(x)={ g \in G : gx=x } y el grupo entero G tienen el mismo tipo de homotopía?
Si la respuesta es "no", me gustaría conocer alguna hipótesis "suave" que se pueda añadir para tener una respuesta afirmativa.
Por ejemplo, sé que siempre que G es un grupo de Lie y H < G es un subgrupo cerrado tal que G/H es contráctil, entonces G y H son homotópicamente equivalentes (en este caso H puede verse como el estabilizador del subconjunto H bajo la acción natural de G en G/H). Sin embargo, suponer que G es un grupo de Lie parece demasiado restrictivo. De hecho, me gustaría aplicar este "resultado" a algunos grupos que no son localmente compactos.
