Si $\phi:G\to\bar{G}$ es un isomorfismo y si $H$ es un subgrupo normal de $G$, $\phi(H)$ es un subgrupo normal de $\bar{G}$.

Question

Si $\phi:G\to\bar{G}$ es un isomorfismo y si $H$ es un subgrupo normal de $G$, $\phi(H)$ es un subgrupo normal de $\bar{G}$.

Estoy luchando con la introducción con el problema. Sé que nos quiere mostrar que para algunos $b \in \bar{G}$,$b\phi(H)b^{-1} \in \phi(H)$, pero no está seguro de cómo hacerlo. Otros enfoques también son bienvenidos.

Answer 1

Desde el isomorfismo es sobre, existe $a$ tal que $\phi(a)=b$, y, por supuesto, de ello se sigue que $b^{-1}=\phi(a^{-1})$.

Ahora mire de nuevo al $b\phi(H)b^{-1}$ y el uso de la multiplicativity de $\phi$.

Answer 2

Su enfoque es el correcto (y probablemente el más simple). Deje $\bar{g}\in\bar{G}$$y\in\phi(H)$. Como ya se ha señalado, $\phi$ es por definición de isomorfismo y por lo $\exists h\in H,g\in G$ s.t. $y=\phi(h)$ $\bar{g}=\phi(g).$ Ahora, por definición, de $H$ normal, $ghg^{-1}\in H.$ $\phi(ghg^{-1})\in \phi(H).$ Finalmente, por definición de homomorphism, $$\phi(ghg^{-1})=\phi(g)\phi(h)\phi(g^{-1})=\bar{g}y\bar{g}^{-1}.$$ Thus $\bar{g}y\bar{g}^{-1}\in\phi(H)$, which proves that $\phi(H)$ is normal in $\bar{G}$.

Lo siento si mi variable diferente opciones confundido, pero ellos son naturales a mí. Aviso de la homomorphism propiedad permite que la imagen de $\phi$ a ser "roto muy bien" y asegurar que nuestro resultado deseado.