Acotamiento en un espacio topológico?

Question

1. Me preguntaba si hay un concepto de acotamiento de los subconjuntos de un espacio topológico?

2. Si respondió sí a la 1, es este uno de Wiki

   Elementos de un Bornology B en un conjunto X se llama delimitada conjuntos y el par (X, B) se llama un bornological conjunto.

   Para cualquier espacio topológico X, el conjunto de subconjuntos de X con el compacto el cierre es un Bornology.

3. Si respondió sí a la 2, hace coincidir con acotamiento en un espacio métrico y en un espacio vectorial topológico? ¿Cómo se relaciona el total de acotamiento en un espacio uniforme?

Gracias y saludos!

Answer 1

En general, no existe la noción de acotamiento en un espacio topológico.

Ejercicio: dado un espacio métrico $(X,d)$, muestran que $D(x,y):=\mbox{min}(1,d(x,y))$ define una segunda métrica en $X$ que es equivalente a la primera; es decir, un subconjunto $U$ $X$ es abierta con respecto a la primera medida si y sólo si está abierto con respecto a la segunda.

Tenga en cuenta que con la segunda métrica, cada conjunto es acotado, pero las topologías son las mismas. Lo que esto demuestra es que, en la métrica de los espacios, donde la noción de acotamiento está bien definido, se puede mostrar que es en realidad independiente de la topología. Acotamiento es una propiedad que surge de la métrica.

El concepto de bornology (aunque no estoy familiarizado con él) le permite estudiar acotamiento mediante la adición de la estructura de su espacio topológico, y lo que obtienes es un bornological espacio.

Answer 2

Para ver la relación entre el acotamiento, el total de acotamiento, y los tipos de espacios topológicos, le sugiero que considerar la posibilidad de caracterizaciones de compacidad.

Un ejemplo que me ayude aquí es el punto de compactification de la línea real. Si tomamos a la métrica, el punto en el infinito es igual que todos los otros puntos. Así que no hay ningún acotamiento o ilimitado.

Answer 3

El bornology definido en el artículo de Wiki que se hace referencia es normalmente llamado hereditaria ideal en la teoría de conjuntos, aunque hereditaria ideal no es necesaria para cubrir el espacio. Sin embargo, a medida que los ideales se utiliza para definir las nociones de "pequeñez", y por lo general los puntos son "pequeños", todos de la ampliamente estudiado que yo estoy consciente de que no cubren el espacio. Ejemplos son la medida de Lebesgue cero subconjuntos de la línea, y los escasos conjuntos en un espacio topológico.

Un ejemplo de una enfermedad hereditaria ideal que no cubre el espacio es el conjunto de $\mu$ conjuntos de medida cero donde $\mu$ da, al menos, un punto de medida positiva.

Nunca he oído hablar de una enfermedad hereditaria ideal se utiliza para definir una noción de acotamiento.