Un conjunto muy diferente de sí mismo

Question

Dejemos que $(X,\tau)$ sea un espacio regular (que tenga al menos dos puntos). Llamemos a $X$ autodiferente si el único homeomorfismo $\phi:X\to X$ es la función de identidad.

Sé que puedes tener ejemplos cuando $X$ es $T_0$ . Una es cuando $X=\{1,2\}$ y $\tau=\{\emptyset,\{1\},X\}$ . Creo que si $X$ es Hausdorff no puede ser autodiferente, pero no tengo idea de cómo demostrarlo. ¿Cuál es el axioma de separación más fuerte en el que se pueden definir los espacios autodiferentes?

Answer 1

Incluso la línea real puede tener un subespacio rígido $X$ . Puedo presentar una breve construcción. También he buscado en Google un ejemplo de subespacio rígido de la recta real cuyo cuadrado es un subespacio homogéneo del plano [L].

Mi construcción es la siguiente. Como la recta real es contable en segundo lugar, es decir, tiene una base de cardinalidad $\omega$ tiene como máximo $2^\omega$ subconjuntos abiertos y, por tanto, como máximo $(2^\omega)^\omega=2^\omega$ $G_\delta$ -subconjuntos. Sea $G$ ser cualquiera de ellos. Dado que la línea real es segunda contable, es hereditariamente separable, por lo que $G$ tiene un conjunto denso contable $D$ . Como la línea real es Hausdorff, por [E, Th.1.5.4] un mapa continuo desde $G$ a una línea real está definida de forma única por su restricción en el conjunto $D$ . Desde $|D|=\omega$ hay a lo sumo $(2^\omega)^\omega=2^\omega$ tales mapas. Los argumentos anteriores implican que hay a lo sumo $2^\omega$ que son incrustaciones homeomórficas de subconjuntos de los reales en él. La desigualdad inversa es obvia, así que dejemos que $\{f_\alpha:\alpha<2^\omega\}$ sea una enumeración de todas esas incrustaciones.

Por inducción transfinita definir una secuencia $\{y_\alpha\}=Y$ de puntos tales que $y_\alpha\in \Bbb R\setminus \{f_\beta(y_\gamma), f^{-1}_\beta(y_\gamma):\beta,\gamma<\alpha\}$ . Sea $Y_0$ sea un conjunto de puntos de $Y$ que tiene un barrio abierto $O_y$ de cardinalidad inferior a $2^\omega$ . Sea $\{O_y:y\in Y_0\}$ sea una cubierta contable del conjunto $Y_0$ . Dado que la línea real es segundo contable, es hereditariamente Lindelöf, por lo que existe un subconjunto contable $Y_1$ de $Y_0$ tal que $Y_0\subset\bigcup\{O_y:y\in Y_1\}=Z$ . El teorema de König [Ko] implica (véase, por ejemplo, [J, Cor. de Th. 9]) que $2^\omega$ tiene una cofinalidad incontable, es decir, no puede ser la unión de una familia contable de conjuntos de menor cardinalidad. Por lo tanto, $|Z|<2^\omega$ por lo que el conjunto $X=Y\setminus Z$ es no vacía y cada uno de sus subconjuntos abiertos no vacíos tiene cardinalidad $2^\omega$ .

Afirmamos que el espacio $X$ es rígido. De hecho, suponiendo lo contrario, existe un homeomorfismo no identitario $f'$ del espacio $X$ . Sea $x\in X$ sea un punto tal que $f'(x)\ne x$ . Sea $O_x$ y $O_{f'(x)}$ sean vecindades disjuntas de los puntos $x$ y $f'(x)$ respectivamente. Dado que el mapa $f'$ es continua en $x$ existe un vecindario $O’_x$ del punto $x$ tal que $f'(O’_x)\subset O_{f'(x)}$ . Sea $\operatorname{non-fix}(f')$ sea el conjunto de todos los puntos no fijos del mapa $f'$ . Dado que el conjunto $\operatorname{non-fix}(f')$ contiene un subconjunto abierto no vacío $O’_x \cap O_x$ del espacio $X$ tiene una cardinalidad $2^\omega$ . Por el Teorema de Lavrentiev [Ke 3.9], $f’$ puede extenderse a un homeomorfismo $f$ entre $G_\delta$ -sets de la línea real. Por lo tanto, $f=f_\alpha$ para algunos $\alpha<2^\omega$ . Sea $y\in \operatorname{non-fix}(f’)$ . Entonces $y=y_\beta$ para algunos $\beta<2^\omega$ y $f’(y_\beta)=f_\alpha(y_\beta)=y_\gamma$ para algunos $\gamma<2^\omega$ . Supongamos que $\beta>\alpha$ . Entonces, por la definición del conjunto $Y$ , $\gamma\le\beta$ . Desde $y\in \operatorname{non-fix}(f_\alpha)$ la igualdad es imposible, por lo que $\gamma<\beta$ . Por otro lado, $y_\beta=f_\alpha^{-1}(y_\gamma)$ lo que contradice la definición del conjunto $Y$ . Así, $\operatorname{non-fix}(f’) \subset\{y_\beta:f_\alpha(y_\beta)\in Y\}\subset\{y_\beta:\beta\le\alpha\}$ Así que $|\operatorname{non-fix}(f’)|\le \alpha<2^\omega$ una contradicción.

Referencias

[E] Ryszard Engelking, Topología general (2ª ed), - Heldermann, Berlín, 1989.

[J] Thomas J. Jech, Clases de teoría de conjuntos con especial énfasis en el método de forzamiento Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1971 (traducción al ruso, Mir, Moscú, 1973).

[Ke] Alexander S. Kechris, Teoría descriptiva clásica de conjuntos , - Springer, 1995.

[Ko] J. König, El problema de la continuidad , Matemáticas. Annalen, 60 (1905), 177-180.

[L. Brian Lawrence, Un subespacio rígido de la recta real cuyo cuadrado es un subespacio homogéneo del plano , Trans. Amer. Math. Soc. 357 :7 (2005), 2535-2556.