Vectores propios de la matriz compleja

Question

Estoy trabajando en un problema en el que intento encontrar los vectores propios de una matriz bastante complicada, y necesito algo de ayuda. La matriz en cuestión es:

$$A =\begin{bmatrix} \sin(x) & \cos(x)\cos(y) - i\cos(x)\sin(y)\\ \cos(x)\cos(y) + i\cos(x)\sin(y) & -\sin(x)\\ \end{bmatrix}$$

Sé que la matriz es hermitiana, por lo que es igual a su propia transposición conjugada. Además, los valores propios son $\lambda = \pm 1$ , como $A^2 = I$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo utilizar estas propiedades para encontrar los posibles vectores propios (si es que eso sirve de algo), y me gustaría evitar hacerlo por fuerza bruta si es posible, ya que parece ingobernable.

Hasta ahora, he intentado separar la matriz en partes reales e imaginarias, pero eso no parece ayudar. También se me ocurrió asumir la diagonalización para intentar encontrar la matriz unitaria diagonalizadora (y, a su vez, los vectores propios), pero tampoco veo que eso haga las cosas mucho más agradables. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

El determinante es $$ -\sin^2x-(\cos^2x\cos^2y+\cos^2x\sin^2y)=-1 $$ por lo que el polinomio característico es $X^2-1$ porque el rastro es $0$ .

Un vector propio relativo a $1$ es una solución no nula de $$ \begin{bmatrix} \sin x - 1 & \cos x\cos yi\cos x\sin y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=0 $$ por lo que un vector propio es $$ \begin{bmatrix} \cos x\cos yi\cos x\sin y \\ 1-\sin x \end{bmatrix} $$ sauf si $\sin x=1$ cuando un vector propio es $$ \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} $$

Para el $-1$ eigenvector, haga lo mismo.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ A=DQD^{-1},\ D=\pmatrix{1\\ &e^{iy}},\ Q=\pmatrix{\sin x&\cos x\\ \cos x&-\sin x}. $$ De ello se deduce que si $v$ es un vector propio de $Q$ entonces $Dv$ es un vector propio de $A$ .