Sea $p_n$ el n-ésimo primer número, por ejemplo, $p_1=2,p_2=3,p_3=5$. ¿Cómo demuestro todos $n>1$, $p_n<n^2$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En Zagier de los primeros 50 millones de números primos de una muy elemental prueba de ello es que para $n > 200$ hemos
$$\pi(n) \ge \frac23 \frac{n}{\log n}$$
donde $\pi(x)$ es el número de números primos por debajo de $x$ (así como un atado en la otra dirección). De hecho, ya tiene para $n \ge 3$, como puede ser directamente marcada.
Supongamos que $p_n > n^2$, luego de esto $n$ tenemos $\pi(n^2) < n$, pero que viola el obligado ya por $n = 5$.
