¿Cuál es el tamaño máximo de una igual distancia establecida en $\mathbb{R}^n$?

Question

Deje $A\subseteq \mathbb{R}^n$ con el casual métrica y $c\in\mathbb{R}^+$ ser un número real positivo, tal que para cada a $a_1, a_2\in A$ si $a_1\neq a_2$$d(a_1,a_2)=c$.

¿Cuál es el tamaño máximo de un conjunto de $A$?

Mi intuición me dice que es $n+1$, es decir, la dimensión del espacio euclidiano estamos trabajando con más de uno, pero no estoy seguro acerca de cómo probar esto - suponiendo que esto es correcto?

Es más fácil ver esto en $\mathbb{R}$ - dos puntos en la recta real, y en $\mathbb{R}^2$ - un triángulo, pero no estoy seguro de que es cierto de todos los $n\in \mathbb{N}$.

Answer 1

Sí, es verdad, y la prueba es por inducción sobre la cardinalidad $k = |A|$.

Por la escala, se puede reducir al caso de que la igualdad de distancia es $1$.

Ahora demuestra una declaración más fuerte por inducción, es decir, que $k \le n+1$ y existe una isometría $\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$ que se lleva a $A$ a un equilátero $k-1$ simplex de lado de longitud $1$$\mathbb{R}^{k-1}$. Esto es obviamente cierto para $k=1$.

Suponiendo que es cierto para los números de $<k$, vamos a $A'$ obtenerse mediante la eliminación de un punto de $A$, con lo que hay una similitud de tomar $A'$ para el conjunto de vértices de un equilaterial $k-2$ simplex $\sigma$ de la longitud lateral $1$$\mathbb{R}^{k-2}$. Así que podemos suponer que la $A'$ es el vértice de este simplex. Ahora tome el conjunto de la unidad de radio de las esferas alrededor de los puntos de $A'$ y se cruzan con ellos. Ese conjunto de intersecciones es una esfera de cierta dimensión, cuyo diámetro es estrictamente menor que $1$. Por lo tanto, el conjunto de $A$ puede contener más de un punto en esa esfera. Y ni un solo punto en esa esfera, de la unión de $A'$, es el conjunto de vértices de un triángulo $k-1$ simplex, que podemos girar a ser en $\mathbb{R}^{k-1}$ por una rotación que corrige $\mathbb{R}^{k-2}$.