ayuda con probar que la multiplicación de raíces complejas es igual a 1

Question

Deje $z_1, z_2,\dots,z_n$ ser la solución en $\mathbb{C}$$z^n=1$.

Tengo que demostrar que por extraño poder de $n$ la multiplicación de las raíces es igual a $1$: $$z_1z_2\dots z_n=1.$$

Estoy un poco atascado y agradecería un consejo de cómo el progreso.

$z^n=1 \Rightarrow z^n-1=0 $ y basado en el teorema de álgebra sabemos que ha $n$ raíces.

Asumimos $n,m\in\mathbb{Z}$ y $n=2m+1$ ($n$ es número impar)

Voy a utilizar el trigonométricas presentación:

$1 = \cos 2\pi + i \sin 2\pi$
$z^n=r^{2m+1}(\cos (2m+1)\alpha+i \sin(2m+1)\alpha)$

$\DeclareMathOperator{\cis}{cis}r^{2m+1}(\cis(2m+1)\alpha)=1 \cis 2\pi$

$ \Rightarrow r^{2m+1}=1 \Rightarrow r = 1$
$ \cis(\alpha (2m+1)) = \cis(2\pi + 2\pi k)$, $k \in\mathbb{Z}$, $k=0,1,2,\dots,n-1$
$ \Rightarrow \alpha (2m+1)=2\pi + 2\pi k$

¿Cómo puedo progresar desde este punto de vista que $z_1z_2\dots z_n=1$?

Answer 1

$z^n-1=(z-z_1)\cdots(z-z_n)$.

Set $z=0$ y consigue $-1=(-1)^nz_1\cdots z_n$$z_1\cdots z_n=(-1)^{n+1}$.

Al $n$ es impar, obtenemos $z_1\cdots z_n=1$ porque $n+1$ es incluso.

Answer 2

Si usted piensa acerca de las raíces geométricamente, cada uno de ellos tiene el módulo de $1$ y están espaciados uniformemente alrededor del círculo unidad. Como multiplicar dos de ellos juntos, la distancia desde el origen en el plano complejo se queda en $1$; el único resultado es una rotación.

Interpretar geométricamente el comentario a pensar acerca de la sincronización de cada raíz con su complejo conjugado, uno de ellos gira un cierto número de grados a la derecha y multiplicando por su conjugado tiene el efecto de rotación de vuelta por el mismo número de grados en sentido antihorario.

Y así, todas las rotaciones de cancelar, dejando sólo una raíz real: $1$, que es su producto final.

(Si el grado de licenciado en la configuración inicial fueron incluso, a continuación, $-1$ estaría entre la multiplicación de los factores, también; pero no lo es. Y por lo que realmente conseguir $1$.)

Algebraicamente, cada raíz real $a + bi$ $a, b \in \mathbb{R}$ ha complejo conjugado $a - bi$, por lo que su producto es $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$, $1$ desde $a + bi$ es una raíz de la unidad. De nuevo, encontrado a su pareja, que no tienen raíces reales produciendo un producto de $1$s, y una sola raíz real de $1$ a terminar las cosas.

Answer 3

Supongamos $n>0$.

Tenemos $z_k=e^{i\pi\frac{2(k-1)}{n}}$ $k=1,2,...n$

a continuación, $$\prod_{k=2}^nz_k$$

$$\displaystyle{=e^{i\frac{2\pi}{n}\sum_{k=1}^n(k-1)}}$$

$$\displaystyle{=e^{i\frac{2\pi}{n}\frac{n(n-1)}{2}}}$$

$=1$ si $n$ es impar y $-1$ si $n$ es incluso.

por ejemplo, si $n=2$, entonces las raíces son $1$ $-1$.