Estoy Anay, aquí es un problema estoy atascado con:
$x = \prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1 + \frac{1}{3^n} \right )$
La tarea es encontrar el valor de $x$. (obviamente, no debes tener infinita de los productos o de las cantidades, etc. en la respuesta)
Esto es lo que he hecho:
Se define la secuencia de $a_{k}$,
$a_{k} = \prod_{n=1}^{k }\left ( 1 + \frac{1}{3^n} \right )$
En primer lugar, poner algunos límites en $a_{k}$, ya que es un aumento de la secuencia, ya tenemos el límite inferior como $\frac{4}{3}$. Ahora para obtener la mayor obligados, tenemos la siguiente desigualdad para todos los enteros $x$ (fácilmente demostrado a través de la expansión binomial):
$(1 + \frac{1}{x})^{x} < e$
Así,
$(1+x) < e^{\frac{1}{x}}$
El uso de esta desigualdad muchas veces, tenemos, (usando la fórmula para la suma de una progresión geométrica)
$a_{k} < e^2$
Por lo tanto,
$\frac{4}{3}\leq a_{k}< e^2$
Entonces, para demostrar que esta secuencia es convergente se demuestra que se tiene de Cauchy de la Propiedad. Esto se puede hacer de la siguiente manera:
En primer lugar, tenemos,
$a_{k} = a_{k-1} + \frac{a_{k-1}}{3^k}$
Así que la adición de tales ecuaciones para $a_{1}$, $a_{2}$ ..... $a_{k}$, vemos que todos los términos se cancelan y los siguientes restos:
$a_{k} = a_{1} + \sum_{i = 1}^{k-1}\frac{a_{i}}{3^{i+1}}$
Por lo tanto, si $m < n$,
$a_{n} - a_{m} = \sum_{i=m}^{n-1} \frac{a_{i}}{3^{i+1}}$ $< a_{n-1}(\frac{3^{n} - 3^{m}}{3^{m+n}\times2 })$
Como $a_{k}$ es un aumento de la secuencia, se han utilizado $a_{n-1} > a_{n-2}>....>a_{m} $. Y, a continuación, utilizamos la fórmula para la suma de una progresión geométrica para obtener el resultado. Ahora podemos ver que cuando la $m$ $n$ son lo suficientemente grandes, podemos tener la RHS arbitrariamente pequeño como $a_{n-1}$ tiene un límite superior ($e^2$), por lo tanto la secuencia tiene la de Cauchy de la propiedad y que es convergente.
Después de esto pensé que podría ser la secuencia converge a la envolvente de la que he establecido ($e^2$), pero no es así como lo he comprobado a través de un programa de ordenador, los enfoques en torno a $1.56$, que está muy por debajo de $e^2$. Así que, después de este intento de muchos otros métodos para encontrar donde la secuencia converge, pero no encontré ninguna suerte. Además, yo no pude encontrar ningún resultado en Google, por eso he venido a vuestra ayuda. ¿Cómo puedo resolver esto?
Gracias de antemano.
