Un río

Question

Esta es una muy interesante el cálculo de la palabra problema que me encontré en un viejo libro de texto de la mina. Así que yo sé que tienen algo que ver con la minimización de la distancia, pero aparte de eso, el libro de texto no dio pistas realmente y realmente no estoy seguro acerca de cómo acercarse a él. Sin embargo, me las arreglé para hacer un cuadro o diagrama de él.

Cualquier guía de sugerencias o ayuda sería verdaderamente apreciada. Gracias de antemano :) Así que de todos modos, aquí va el problema:

Una casa de alimentación, $P$, está en un banco de un río $200\textrm{ m}$ amplia, y de una fábrica, $F$, está en la orilla opuesta $400\textrm{ m}$ aguas abajo de $P$.

El cable tiene que ser tomado a través del río, bajo el agua, a un costo de $\text{\$}6/\textrm{m}$.

En la tierra el costo es de $\text{\$}3/\textrm{m}$.

¿Qué camino debe ser elegido de modo que el costo se reduce al mínimo?

Edit: Gracias chicos, creo que he encontrado la respuesta. Voy a publicar en el MSE.

Answer 1

Permítanme empezar con el problema.

Deje $x$ ser la longitud del cable en la tierra, y $y$ ser la longitud del cable submarino.

Entonces, el costo, obviamente, es $$C(x,y)=3x+6y$$

Que podemos encontrar en cualquier otro tipo de conexión entre el$x$$y$? Por supuesto que podemos! Sabemos que $y$ es la hipotenusa de un ángulo recto del triángulo. Uno de sus lados es el ancho del río, y el otro es $400 - x$, lo que significa que $$y^2=200^2 + (400-x)^2$$

A partir de estas dos ecuaciones (y el hecho de que $y>0$), se puede determinar el costo del cable como una función de la $x$, es decir, consigue $C(x)$ que es una buena función de $x$. Entonces, todo lo que tienes que hacer es encontrar a su mínimo.

Answer 2

Podemos pedir la fórmula de la refracción óptica

Aquí el costo del cable puede considerarse el costo de tiempo de luz ir a través del agua. La luz siempre lleva la ruta más rápida.

sea $\theta$ el Ángel entre el cable y los bancos, entonces debemos tener $\cos{\theta}=\frac{3}{6}*\cos{0}=\frac{1}{2}$. Así $\theta=\frac{\pi}{6}$.

Answer 3

Así que aquí está el diagrama:

Por favor, tenga en cuenta la diferencia entre P y P'

Echemos un vistazo a los casos extremos, en primer lugar:

Directamente a través del río es $ \$200 m \cdot \$ 6m = \$1200$

$+ 400 m \ \text{on land} \cdot \$ 3m = \$1200$

Total: $ \$ 2400$

Si vamos en diagonal, entonces por Pitágoras, es $200 \sqrt 5 m \cdot \$6m = 1200 \sqrt 5 \approx \$2683$

Deje que el punto en línea recta a través de P a P'.

Vamos a elegir un aterrizaje punto Q, en algún lugar de P' y F.

Deje que la distancia de P a Q se q.

De modo que la distancia total es

$\sqrt{200² + q²}$ (en diagonal por debajo del río) + 400 - p (en la tierra)

El costo es de $6 \cdot \sqrt{200² + q²} + 3 \cdot (400 - q)$

Queremos minimizar.

Primero podemos dividir por 3, el mismo valor de q será máxima.

$2 \cdot \sqrt{200² + q²} + 400 - q$

Derivado de

$2q \cdot \sqrt{200² + q²} - 1$

Hemos establecido que a 0

$2q \cdot \sqrt{40000+q²} = 1$

$2q = \sqrt{40000+q²}$

Plaza:

$4 q² = 40000 + q^2$

$3 q² = 40000$

$q = 200 \sqrt 3$

Longitud bajo el agua es, a continuación, $400 \sqrt 3 \approx 231$

y la longitud en la tierra es $400 - 200 \sqrt 3 \approx 284$

El costo es de $6 \cdot 400\sqrt 3 + 3 (400 - 200\sqrt 3) = \$2239.23$

El triángulo $P-P'-Q$ tiene lados $200 - 200\sqrt 3 - 400 \sqrt 3$

y por lo tanto es un triángulo 30-60-90.

El ángulo QPQ' = 30°.

Answer 4

Sea $\theta$ $P'PQ$ de ángulo. Entonces el $PQ = 200\sec\theta$ y $FQ = 400 - 200\tan\theta$. Queremos minimizar el costo, que es $$C(\theta)=6PQ+3FQ = 1200\sec\theta+1200-600\tan\theta$ $ el derivado es $$\frac{dC}{d\theta} = 1200\sec\theta\tan\theta - 600\sec^2\theta$ $ y si se establece a cero da % o $2\tan\theta=\sec\theta$ $\sin\theta=\frac12$.

Answer 5

La distancia entre P y Q es $\sqrt{q^2+200^2}$ (Teorema de Pitágoras)

Y la distancia entre F y Q es $400-q$

Por lo tanto la función de costo es $C(q)=6 \cdot \sqrt{q^2+200^2}+3\cdot (400-q)$

Tomar el derivado y fijar igual a cero. Entonces solucionar para q.