Núcleo integral del operador resolvente

Question

Supongamos que tenemos una fórmula explícita para el núcleo integral $k(x,y)$ de un operador $D$ actuando sobre la suavidad $\mathbb{C}^n$ -funciones valoradas definidas en un intervalo $[0,\beta]$ Es decir $$ Df(x) = \int_0^\beta k(x,y)f(y)\,dy \,,\quad f \in C^\infty([0,\beta],\mathbb{C}^n)\,. $$ Necesito utilizar el resolvente $(D - \lambda)^{-1}$ ¿hay alguna manera de deducir inmediatamente una fórmula para su núcleo, dado que tengo un conocimiento completo de $k(x,y)$ ?

En caso de que la respuesta sea demasiado extensa también agradecería una referencia. Gracias.

Answer 1

Permítanme sugerir lo siguiente: $$ (D-\lambda)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\lambda^{n+1}D^n, $$ y $(D^nf)(x)=\int_0^\beta k_n(x,y)f(y)\,dy$ y $k_n$ se puede obtener recursivamente como $$ (D^2f)(x)=\int_0^\beta k(x,y)\left(\int_0^\beta k(y,z)f(z)\,dz\right)dy=\int_0^\beta\left(\int_0^\beta k(x,y)k(y,z)\,dy\right)f(z)\,dz, $$ lo que implica que $$ k_2(x,y)=\int_0^\beta k(x,z)\,k(z,y)\,dz. $$ En general $$ k_n(x,y)=\int_0^\beta\cdots\int_0^\beta f(x,z_1)\,f(z_1,z_2)\cdots f(z_{n_1},y)\,dz_1\cdots dz_{n-1}. $$