Una pregunta acerca de ideales principales

Question

Supongamos que $p$ un primer ideal. Si $p=a \cap b$, $a,b$ ideales. ¿Es cierto que tenemos que tener $p=a$ o $p=b$?

Answer 1

Ideal $I$, para satisfacer esta condición, es decir, que si por los ideales de la $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ de $R$, $I = \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b} \implies I = \mathfrak{a}$ o $I = \mathfrak{b}$ -- se llama irreducible. Irreductible ideales se producen en la teoría de la primaria de la descomposición. Para el desnudo rudimentos de esta teoría, véase, por ejemplo, el Capítulo 10 de mi álgebra conmutativa notas.

Un par de muestras:

En un PID, un ideal es irreductible iff es una fuente primaria de energía.

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El primer ideales son irreducibles (el OP pregunta).

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En un Noetherian anillo, irreductible ideales son principales.

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Una correcta ideal en una Noetherian anillo es de un número finito de intersección de irreductible ideales.

La combinación de los dos últimos resultados que uno obtiene del teorema de Noether, el resultado básico en primaria descomposición.

Answer 2

Desde $ab\subset a\cap b$, vemos que el $ab\subset p$. Ahora usar la definición de prime para ver que $a\subset p$ o $b\subset p$.