Demostrar

Question

Demostrar que:

$(1)$$$\int_0^{\infty } \frac{1}{\sqrt{6 x^3+6 x+9}} \ dx=\int_0^{\infty } \frac{1}{\sqrt{9 x^3+4 x+4}} \ dx$$ $(2)$$$\int_0^{\infty } \frac{1}{\sqrt{8 x^3+x+7}} \ dx>1$$

Qué hacer para $(1)$ es (algo trival): $$\int_0^{\infty } \frac{1}{\sqrt{6 x^3+6 x+9}} \, dx=\int_0^{\infty } \frac{1}{\sqrt{x^3+36 x+324}} \, dx$ $ %#% $ de #% por lo que queda por demostrar que $$\int_0^{\infty } \frac{1}{\sqrt{9 x^3+4 x+4}} \, dx=\frac{\sqrt3}3\int_0^{\infty } \frac{1}{\sqrt{x^3+4 x+12}} \, dx$ $ gracias de antemano!

Answer 1

Pista de 1. Sustituir $x=\frac{3}{2}y$

Pero no tengo ni idea sobre 2...

Answer 2

He modificado el límite inferior de la integral (2), aunque es todavía no es exactamente 1. Todavía le estoy dando mis límites.

\begin{equation*} \int_{0}^\infty \frac{1}{\sqrt{(8x^3+x+7)}}dx= \int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{(8x^3+x+7)}}dx+\int_{1}^\infty \frac{1}{\sqrt{(8x^3+x+7)}}dx=I_1+I_2 \end{ecuación *}

Ahora, $x \in [0,1],\ x^2\geq x^3$, por lo tanto sigue,\begin{equation*} I_1=\int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{(8x^3+x+7)}}dx > \int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{(8x^2+x+7)}}dx \end{ecuación *} que puede simplificarse, por métodos estándar, $$\int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{(8x^2+x+7)}}dx=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left(\frac{17+16\sqrt{2}}{1+4\sqrt{14}}\right)\approx 0.321387 $ $

Utilizando la transformación $y=1/x$ $ de #% de #% y usando el hecho de que todos $$I_2=\int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{x(7x^3+x^2+8)}}dx$, obtenemos, $x \in [0,1],\ x^2\geq x^3$$$I_2>\int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{8x(x^2+1)}}dx$ x=\tan(\theta/2) $ Using the transformation $$, we get $ $Hence, mi limite es de $I_2> 1/4\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\sin{\theta}}}=\frac{1}{8}\beta\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)=\frac{\left(\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\right)^2}{8\sqrt{2\pi}}\approx 0.655514$ $

Answer 3

La segunda integral en forma cerrada (por álgebra de la computadora) es igual a %#% $ de #% donde $$ \frac1{\sqrt{2(a_2-a_1)}} F\left(\text{asin}(\sqrt{1-a_2/a_1}), \sqrt{\frac{a_1-a_3}{a_1-a_2}}\right), $ es la verdadera raíz y $a_1$ son las raíces complejas de $a_{2,3}$ y $8x^3+x+7=0$ es la integral elíptica incompleta de primera clase. Esto se evalúa como %#% $ #%

Answer 4

Podríamos utilizar la desigualdad de Carleman que dice que $$ \int_0^\infty f (x)dx \ge 1/e\int_0 ^ \infty exp(1/x*\int_0^xln(f(x)) dx) dx $$

Entonces, al sustituir nuestra función como f (x), podemos probar la declaración demostrando eso $$ 1/e\int_0 ^ \infty exp(1/x*\int_0^xln(f(x)) dx) dx \gt 1 $$ esto se hace observando que para todo x > 0 $$ 9t ^ 8t \gt 3 + 9 ^ 3 + t + 7 $$

Simplificar la integral de la mano derecha podría resultar el caso.