En lo que respecta al "por qué no puede hacerse", hay varias interpretaciones potenciales.
Se pueden encontrar algunos enlaces y discusiones de pruebas en este hilo . Estos se centran principalmente en las álgebras de Clifford o en algunos resultados de Frobenius, y sólo cubren el caso asociativo. El caso no asociativo también se conoce, y se trata en el siguiente párrafo.
Hay una explicación alternativa que no se menciona ese hilo, que se estableció en Adams, J. F. (1962). "Campos vectoriales en las esferas". Anales de Matemáticas 75: 603-632. Zbl 0112.38102 . Se trata de establecer el máximo número de campos vectoriales lisos (o continuos, pares) linealmente independientes sobre esferas de una dimensión (finita) determinada. Resulta que tener una multiplicación bien definida en $ \Bbb R^n$ con inversiones y sin divisores de cero es equivalente a tener disponible el mayor número posible de tales campos vectoriales linealmente independientes. Y sus resultados muestran que tal multiplicación sólo existe en $ \Bbb R, \Bbb R^2, \Bbb R^4,$ y $ \Bbb R^8$ . Los tres primeros son los números reales, los números complejos y los cuaternarios. El último es un álgebra de división no asociativa sobre los reales conocido como el octoniones .
Para $ \Bbb R^3$ en particular, este resultado a veces se afirma como "no se puede peinar el pelo en un coco", o El teorema de la bola peluda . Cualquier intento de peinar los pelos continuamente resultará en un "cowlick", una discontinuidad, a saber. Los pelos pueden ser considerados como la representación de los campos vectoriales en la interpretación de Adams.
