Si uno se equipa $F^n$ con la costumbre de adición de vectores y componente sabio multiplicación, entonces se convierte en una bona fide conmutativa anillo llamado el producto directo de los $F\times F\times\cdots\times F$ $n$ copias de los anillos (en el hecho de campo)$~F$. Si usted también desea la multiplicación escalar por elementos de $F$ en la imagen, luego este anillo se convierte en un $F$-álgebra.
Así que este enfoque no es algo inaudito. Simplemente no se siente bien en el contexto, donde el álgebra lineal es estudiado.
Una de las principales características de álgebra lineal es el alto grado de simetría que los objetos de estudios (es decir, espacios vectoriales) poseer. En el caso de un número finito de dimensiones del espacio, uno puede elegir casi cualquier colección de el número correcto (la dimensión$~d$) de los vectores, y usar eso como base para establecer un isomorfismo con un estándar de espacio vectorial $F^d$; basta para evitar la linealmente dependiente de las familias, que (entre las familias de $d$ vectores) son bastante escasas. El hecho de que muchas de las opciones dan esencialmente el mismo resultado y, por lo tanto, el espacio cuenta con un gran número de simetrías a sí mismo, es realmente una característica distintiva de álgebra lineal. Si usted debilitar la condición de trabajo de más de un campo a trabajar a través de un anillo (incluso un muy buen uno como un PID) y luego se suelta esta abrumadora simetría aspecto (aunque algunos simetría sigue siendo) y esto cambia radicalmente el tema. Incluso los grupos, que son la esencia de la simetría en sí, no tiene el tipo de simetría que los espacios vectoriales tienen.
(Por otro lado, tenga en cuenta que el trabajo de más de un sesgo de campo, también conocida como la división del anillo, las propiedades de simetría se conserva, y es muy razonable que un comienzo de curso de Álgebra Lineal debería trabajar en un sesgo campos. Pero que yo sepa nadie a excepción de Bourbaki o R. Godement en realidad lo hace.)
Así que aquí es la razón por la que el componente sabio producto no es realmente útil en álgebra lineal: es completamente rompe la simetría de la propiedad de los espacios vectoriales. A diferencia de vectores distintos de cero en $F^n$, distinto de cero elementos del anillo de $F\times F\times\cdots\times F$ vienen en muchos tipos (hay, por ejemplo, invertible, divisores de cero, y idempotents), y en consecuencia, existen muy pocos simetrías del anillo de $F\times F\times\cdots\times F$ (a pesar de la permutación de los factores de contar todavía). Por comparación, la introducción de un producto escalar rompe la simetría algo, pero en menor medida. En lugar de la libertad de todas las bases, uno tiene que restringir a ortonormales bases para obtener los mismos resultados entre todas las opciones. Y además, en algunas aplicaciones (en particular de la física), la simetría se ha reducido en la situación que se pretende estudiar (la naturaleza de singles a cabo un determinado significativa interna del producto).
