He estado leyendo la página wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_bundle del haz tangente y afirma que el haz tangente está dotado de la topología natural y no de la topología de unión disjunta. No se explica nada más.
¿Puede alguien explicarme las ramificaciones de estas topologías?
La topología de unión disjunta haría que cada espacio tangente $T_x M$ un componente conectado; así que (a menos que $M$ es de dimensión cero) se obtienen innumerables componentes conectados, lo que contradice el requisito de la segunda contrastabilidad en la definición habitual de una variedad.
Sin embargo, lo más importante es que esta topología no nos da la noción de que dos vectores tangentes basados en puntos cercanos (pero distintos) estén cerca, por lo que no es útil para hacer el tipo de cosas que queremos hacer con los vectores tangentes. Por ejemplo, el campo vectorial de la velocidad $[0,1] \to TM$ de una curva suave $[0,1] \to M$ es continua si ponemos la topología natural en $TM$ pero no con la topología de unión disjunta.
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