Ejemplo de un conjunto compacto cuyo conjunto de puntos límite es infinito numerable.

Question

Necesito encontrar un ejemplo de un conjunto compacto cuyo conjunto de puntos límite sea infinito numerable.

Answer 1

PISTA: Empieza con el conjunto $A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$; eso es un conjunto compacto con un punto límite. Ahora agrega a $A$ una secuencia que converge a cada uno de los puntos $\frac1n$. Puedes hacer esto en $\Bbb R$, pero es un poco más fácil de describir y visualizar si primero incorporas $A$ en $\Bbb R^2$ y luego dejas que la nueva secuencia converja verticalmente hacia los puntos $\langle\frac1n,0\rangle$.

Answer 2

\begin{equation} A = \{ (1/m, 1/n),(1/m,0),(0, 1/n) : m , n \in \mathbb{N} \} \end{equation} El conjunto de puntos límite de $ A $ es $ \{(1/m,0) : m \in \mathbb{N} \} \cup \{ (0, 1/n) : n \in \mathbb{N} \} $, que es infinito contable y $ A $ es compacto porque está acotado y cerrado.

Answer 3

Pista: En $\mathbb{R}$ queremos que el conjunto sea cerrado y acotado. Haz un conjunto cuyos puntos límite sean, por ejemplo, $0$ y $1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, \dots$.

Para crear un conjunto con los puntos límite correctos, podrías empezar haciendo un conjunto cuyos únicos puntos límite sean $1$, $2$, $3$, y así sucesivamente. (Esto, por supuesto, no es compacto). Luego, produce el conjunto deseado utilizando el recíproco, sin olvidar el recíproco del símbolo de "$\infty$".