La restricción de un monótono auto-mapa ("endomorfismo de $\mathbf{Pos}$") para una amplia subposet

Question

He aquí un poset, llame a $P.$

$\hspace{1cm}$

Definir una función $S : P \rightarrow P$ como sigue.

$$S(0) = 1, \qquad S(1) = 2, \qquad S(2) = 2$$

Claramente, $S$ es monótono. Ahora considere el siguiente subposets de $P$, de los cuales todos son distintos , pero no completo:

Observar que $S$ restringe a una monótona y la auto-mapa en tanto $A$$B$, pero no en $C$.

Pregunta. Bajo qué condiciones podemos esperar una monótona y la asignación de $f : P^n \rightarrow P$ a restringir a una monótona y la asignación de $S^n \rightarrow S$ donde $S$ es un gran pero-no-completa subposet de $P$?

Estoy más interesado en el caso de que $P$ es un conocer-semilattice, $S$ es un gran pero-no-completa subposet de $P$ que no es un sub-cumplir-semilattice, y $f$ es el conocer la operación $\wedge : P^2 \rightarrow P$. No he tenido mucho éxito en la comprensión de incluso los conceptos básicos de esta pregunta; yo creo que el conocer restringe a una monotonía de asignación en cada uno de $A,B$ $C$ por encima, y no he sido capaz de cocinar una situación en la que claramente no se limita a una monotonía de asignación.

Answer 1

Para una única función de $S: P\to P$, la única gran subposets de $P$ que $S$ es todavía monotono son aquellos realizados con la siguiente regla: si elimina una flecha de $P$, debe quitar la flecha correspondiente(s) de $S^{-1}(P)$. En tu ejemplo, la preimagen de la flecha $1 \to 2$ través $S$ es la flecha $0 \to 1$. Así que cuando usted se retire $1 \to 2$, $S$ sigue siendo montone si y sólo si se quita $0 \to 1$. Por eso $S$ es monotono en $A$, pero no en $C$. Puesto que nada se asigna a $0$ través $S$, que se explica por qué se puede quitar la flecha $0 \to 1$ sin quitar nada más.

Tenga en cuenta que puede que tenga que quitar más de una flecha, como una consecuencia de la eliminación de un determinado flecha para preservar la monotonía. Por ejemplo, con el fin de $0 < 1 < 2$ $0' < 1$ (sino $0$ $0'$ incomparable), una monotonía de la función $S'$ puede asignar tanto $0$$0'$$1$$1 \mapsto 2, 2\mapsto 2$. En este ejemplo, al quitar la flecha $1 \to 2$, usted tiene que quitar tanto $0\to 1$ $0'\to 1$ a preservar la monotonía de $S'$. La preimagen de $1\to 2$ través $S'$ se compone de estos dos flechas.

Todavía tengo que pensar acerca de la $n$-ary función del caso en todos los casos, pero el de arriba es suficiente para la construcción de un contra-ejemplo para el semilattice y conocer a caso. Supongo que usted considere la posibilidad de un n-ary función monótona por orden de su tupla argumento de que $(a_1, \ldots, a_n) \le (b_1, \ldots, b_n)$ fib $a_i \le b_i, \forall i \in \{1,\ldots,n\}$.

Ahora, considere el "rombo" [semil]attice dado por $0<1<2,\; 0<1'<2$. La monótona unario función va a ser la de cumplir con el elemento fijo $1$, es decir,$f(x)=1\wedge x$; mapas de la flecha $1'\to 2$ a la flecha $0 \to 1$, por lo que si queremos eliminar sólo la flecha $0 \to 1$ a partir de este [semi]enrejado, a continuación, $f$ no es monotono en el poset $1<2,\; 0<1'<2$ (que no es un conocer-semilattice) debido a $f(1')=0$ y $f(2) = 1$, pero $0$ $1$ son incomparables en la discompleted rombo.