Mostrar que $\int_0^\infty \sin\left(x^2\right)dx$ converge, pero que $\int_0^\infty \sqrt{\sin^2\left(x^2\right)}dx$ no.
La primera parte creo que he demostrado con triángulos, pero yo no podía probar la segunda parte.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La segunda integral es $$ \int_0^\infty|\sin x^2|\,dx. $$ Tenga en cuenta que $\sin t\geq1/2$ si $t\in[\frac\pi6+2k\pi,\frac{5\pi}6+2k\pi]$. Por lo $\sin x^2\geq1/2$ si $x\in[\sqrt{\frac\pi6+2k\pi},\sqrt{\frac{5\pi}6+2k\pi}]$, $k\in\mathbb N$.
Así $$ \begin{eqnarray} \int_0^\infty|\sin x^2|\,dx&\geq&\sum_{k=0}^\infty\int_{\sqrt{\frac\pi6+2k\pi}}^{\sqrt{\frac{5\pi}6+2k\pi}}|\sin x^2|\,dx\\ &\geq&\frac12\,\sum_{k=0}^\infty\left(\sqrt{\frac{5\pi}6+2k\pi}-\sqrt{\frac{\pi}6+2k\pi}\right)\\ &\geq&\frac12\,\sum_{k=0}^\infty\frac{\frac{4\pi}6}{\sqrt{\frac{5\pi}6+2k\pi}+\sqrt{\frac{\pi}6+2k\pi}}\\ &\geq&\frac12\,\sum_{k=0}^\infty\frac{\frac{4\pi}6}{2\sqrt{\frac{5\pi}6+2k\pi}}\\ &=&\frac\pi8\,\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{\sqrt{\frac{5\pi}6+2k\pi}}=\infty \end{eqnarray} $$ (la última de la serie diverge claramente como sus términos crecer como $k^{-1/2}$).
ND Geek
Puntos
880
He aquí una prueba de la primera parte, a través de la filosofía general que si un integrando oscila a menudo se puede obtener una mejor idea del tamaño de la integral usando integración por partes. Ignorando la perfección domar integral de 0 a 1, $$ \int_1^\infty \sin(x^2)\,dx = \int_1^\infty \frac1{-2}(-2x\sin(x^2))\,dx = \frac{\cos(x^2)}{-2}\bigg|_1^\infty - \int_1^\infty \frac{\cos(x^2)}{2x^2}\,dx. $$ El límite de los términos son finitos, y el resto de la integral converge absolutamente en comparación a $\int x^{-2}dx$.
