Deje $M$ $2$- esfera con $g$ asas. Considerar el espacio de los mapas de $M\to \mathbb R^3$, los cuales son inmersiones [es decir, suave mapas con degenerada diferencial en cada punto de $x\in M$], con el compacto-abierta de la topología. Es bien sabido que para $g=0$ este espacio es el camino -; y cómo acerca de la misma cuestión al $g>0$? Es una pregunta abierta, o es posible encontrar el artículo con la prueba?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El espacio de inmersiones ha $2^{2g}$ componentes.
Volvamos a la prueba del hecho de $g=0$: Smale-Hirsch de la inmersión de la teoría. La forma del resultado que yo quiero es a partir de aquí.
Teorema: El espacio de inmersiones $\Sigma_g \to \Bbb R^3$ es homotopy equivalente al espacio de paquete de inyecciones $T\Sigma_g \to \bf{3}$, el trivial paquete de rango 3 sobre $\Sigma_g$.
En lugar de re-escritura de la rueda, me quedo con la respuesta de partida en el citado teorema y decir lo que debe ser modificado.
Lo que el autor no obtiene es que ese espacio de inmersiones es homotopy equivalente a $\text{Maps}_*(\Sigma_g,O(3)) \times SO(3)$. Nada acerca de que era especial para $g=0$. (Tenga en cuenta que debido a que estamos basepointed bien podemos llamar a la asignación de espacio de $\text{Maps}_*(\Sigma_g,SO(3))$.) El problema está en su identificación de que la asignación de espacio, se da cuenta de que para$g=0$$\Omega^2 SO(3)$, que se identifica fácilmente. No podemos hacer esto.
1) No son muchos homotopy clases, dependiendo de la elección de homomorphism $\pi_1(\Sigma_g) \to \pi_1(SO(3))$ recogemos. Hay $2^{2g}$ muchos de ellos. Si fijamos la inducida por el mapa a ser cero, pasando a la doble cubierta de $SO(3)$ muestra que este mapa es nulo, por lo que no son, precisamente, que muchos homotopy clases.
La redacción de este en términos de la geometría, mediante la selección de una sola inmersión en $\Bbb R^3$, hemos optado por un encuadre de la estable tangente bundle $T\Sigma_g \oplus \bf 1$. Cualquier otra inmersión del encuadre difiere en un mapa de $\Sigma_g \to SO(3)$, y este espacio ha $2^{2g}$ componentes.
Tenga en cuenta que Smale-Hirsch inmersión en teoría es para $C^\infty$ cosas, y apuesto a que usted puede llegar a $C^2$. Yo no sé acerca de $C^0$, $C^1$. Apuesto a que es desconectado.
