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Es $f$ no decreciente?

Supongamos $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función de la satisfacción de las condiciones de $2f(x)\le f(x+h)+f(x+2h)\quad \forall x\in \mathbb{R}$$h\ge0 $. Entonces, ¿es verdad que $f$ es no decreciente?

Me di cuenta de que si $f$ es diferenciable entonces esto va a ser cierto, ya que podemos tomar todos los términos a un lado y se dividen por $h$ y, a continuación, deje $h\to 0$ veremos $3f'\ge0$, pero ¿qué sucede lo contrario?

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Vincent Puntos 5027

Supongamos $f$ no es no decreciente, de modo que no existe$a,b$$a < b$$f(a) > f(b)$. A continuación, $f$ es ilimitado en todos los intervalos finitos $(s,t)$$b \le s < t$.

Para simplificar las cosas, supongamos $a=0, b=1, f(0)=1, f(1)=0$; lo que sigue, puede ser fácilmente adaptada para el caso general.

Poner a $x=0,h=\frac12$ en la desigualdad de da $f(\frac12) \ge 2$.
Poner a $x=\frac12,h=\frac14$ en la desigualdad de da $f(\frac34) \ge 4$.
Poner a $x=\frac34,h=\frac18$ en la desigualdad de da $f(\frac78) \ge 8$.

Y así sucesivamente. Por lo $f$ es ilimitado en cada intervalo vacío $(1-\epsilon,1)$.

Ahora vamos a $(s,t)$ ser cualquier intervalo finito con $1 \le s < t$. A continuación, $f$ es ilimitado en $(s,t)$.

Para ver esto, vamos a $u = s+t-1$$\epsilon = t - s$. Entonces para cualquier $x \in (1-\epsilon,1)$ podemos poner $h = \frac12(u-x)$, por lo que el$x+h \in (s,t)$$x+2h = u$. La desigualdad nos dice que $f(x+h) \ge 2f(x)-f(u)$; pero $f(u)$ es fijo, y $f(x)$ es ilimitado. Por lo $f$ es ilimitado en $(s,t)$.

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Claude Leibovici Puntos 54392

Vamos a escribir la expresión como $$A= f(x+h)+f(x+2h)-2f(x)$$ with the conditions $A \geq 0$ and $h \geq 0$.

Ahora expanda, como casi lo hizo, la función como en series de Taylor alrededor de $h=0$. Entonces tenemos $$A=3 h f'(x)+\frac{5}{2} h^2 f''(x)+O\left(h^3\right)$$ So, if the conditions are satisfied, at least at the first order they imply that $f'(x) \geq 0$ and $f(x)$ es no decreciente.

Como Dario comentado, lo anterior supone que el $f(x)$ es una función continua y como Tony K. comentó que $f(x)$ es diferenciable.

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