Demuestre que la extensión es una extensión de Galois

Question

Que $p$ ser un número primo. $K$ = $\mathbb C(x,y)$ y $F=\mathbb C(x^p,y^p)$. Luego, probar que $K/F$ es una extensión de Galois.

Ensayo:

Puesto que este $\mathbb C$ es un campo de charactersitic $0$, sería suficiente para mostrar que $K$ es un campo de división de un polinomio separable. Mi conjetura es que el polinomio $f(t)=(t^p-x^p)(t^p-y^p)$. Pero no soy capaz de demostrar que k es el campo División de $f(t)$. ¿Es la forma correcta y lógica?

Answer 1

Sí, el polinomio sugerido$f = (t^p - x^p)(t^p - y^p)\in \mathbb C(x^p,y^p)[t]$ hace el trabajo. Deje$L$ ser su campo de división.

Como$x$ y$y$ son raíces de$f$, claramente$K \subseteq L$.

El conjunto completo de raíces de$f$ está dado por todos$\zeta^i x$ y$\zeta^i y$ donde$\zeta\in\mathbb C$ es un primitivo$p$ th raíz de la unidad y$i\in\{0,\ldots,p-1\}$ . Como$x,y\in K$ y$\zeta\in\mathbb C\subseteq K$, todas las raíces de$f$ están contenidas en$K$ y, por lo tanto,$L\subseteq K$.

Esto muestra$K = L$, por lo que$K$ es el campo de división de$f$.