Evalue $\int_0^{\pi} e^{a\cos(t)}\cos(a\sin t)dt$

Question

¿Cuál es el valor de
$$\int_0^{\pi} e^{a\cos(t)}\cos(a\sin t)dt?$$

Answer 1

Al explotar $\cos\theta=\frac{1}{2}\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)$ y la serie de Taylor de la función exponencial tenemos: $$\begin{eqnarray*}I(a)&=&\int_{0}^{\pi}e^{a\cos t}\cos(a\sin t)\,dt\\&=&\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\exp\left(a e^{it}\right)+\exp(ae^{-it})\,dt\\&=&\frac{1}{2}\sum_{n\geq 0}\int_{0}^{\pi}\frac{a^n(e^{nit}+e^{-nit})}{n!}\,dt\end{eqnarray*} $$ pero la integral más interna siempre se anula, a menos que $n=0$. Se sigue que $I(a)$ es constante, y $$ I(0) = \pi $$ es trivial.

Answer 2

La integral se puede expresar como

$$\frac12 \operatorname{Re} \int_0^{2 \pi} dt \, e^{a e^{i t}} $$

La integral se puede escribir en forma compleja como, dejando $z=e^{i t}$:

$$-i \oint_{|z|=1} dz \frac{e^{a z}}{z} $$

que, según el teorema integral de Cauchy, es simplemente $2 \pi$. Por lo tanto, la integral buscada es $\pi$.

Answer 3

Calculemos la derivada de la integral $I(a)$ con respecto a $a

$$ I'(a)=\int_0^{\pi}e^{a \cos(t)}\cos(t)\cos(a\sin(t))-\int_0^{\pi}e^{a \cos(t)}\sin(t)\sin(a\sin(t)) $$

aplicando la integración por partes a la segunda integral con $u'=e^{a \cos(t)}\sin(t)$ y $v=\sin(a\sin(t))

obtenemos

$$ I'(a)=0 $$

entonces

$$ I(a)=const $$

pero $I(0)=\pi$ y terminamos con

$$ I(a)=\pi $$

Answer 4

Obtuve una respuesta realmente extraña/divertida/interesante, con Wolfram Mathematica.

En pocas palabras, siempre que $-24 \leq a \leq 24.60$ el valor es:

$$\int_0^{\pi}\ e^{a \cos(t)}\cos(a \sin(t)) \text{d}t = \pi$$