Muestre que la forma bilineal es$H^1(0,l)$ - elíptica / coercitiva

Question

Deje$$a(u,v) := \int_0^l \partial u(x) \partial v(x) + cu(x)v(x)\, \mathrm{d}x + \alpha u(l)v(l)$ $ Mostrar que$a(\cdot,\cdot)$ es$H^1(0,l)$ - elíptico si$c > 0$% o$\alpha > 0$.

Mi intento de una solución:

El caso donde$\alpha$ es$0$ es directo. Estoy atascado en el caso$c =0$ y$\alpha > 0$. Necesito mostrar que \begin{align} \int_0^l (\partial v(x))^2 \, \mathrm{d}x + \alpha u(l)v(l) \ge \int^l_0 (\partial v(x))^2 + v(x)^2 \, \mathrm{d}x. \end {align} he estado comparando los términos del término$||v||_{H^1}$ por término con la forma bilineal, claramente,$a(v,v) \ge \int_0^l (\partial v(x))^2$, por lo que ese término es correcto. Pero no puedo entender por qué$a(v,v) \ge c_0 \int_0^lv(x)^2$. La única estimación con la que encontré para trabajar es que$|u(l)| \le 2l^{1/2} ||\partial u||_{L^2} + 2l^{-1/2}||u||_{L^2}$, y eso no me está llevando a ninguna parte.

Answer 1

Esto es una consecuencia de la desigualdad de Friedrich , que, cuando se especializa en su caso, establece que \begin{align} \left\|u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} \le l^{2}\left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} \end {align}

Obviamente, \begin{align} a(u,u) &:= \int_{0}^{l} \partial u \partial u \, \mathrm{d}x + \alpha u(l)^{2} \ge \left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2}. \end {align} Luego \begin{align} \left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} &= \left(1 - \frac{1}{l^{2}} \right)\left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} + \frac{1}{l^{2}}\left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} \\ &\ge \frac{1}{l^{2}}\left\| u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} + \frac{1}{l^{2}}\left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} - \frac{1}{l^{2}}\left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} \\ \left(1+\frac{1}{l^2}\right)\left\|\partial u\right\|_{L^{2}[0,l]}^{2} &\ge \frac{1}{l^{2}}\left\|u\right\|_{H^{1}[0,l]}^{2} \end {align} para que$a(u,u) \ge \frac{1}{1+l^2}\left\|u\right\|_{H^{1}[0,l]}^{2}$.

Tengo una prueba de la desigualdad de Friedrich sentada si la quieres; pero parecía fuera de tema aquí. . .