Una matriz unitaria U es una matriz tal que la transposición conjugada de U, cuando se multiplica a la derecha con U, produce identidad. Mi pregunta es, ¿es posible obtener la transposición de cualquier matriz de densidad usando alguna operación unitaria? (Leí en alguna parte que la operación de transposición es una operación "antiunitaria", pero no creo que eso signifique que una operación unitaria NO pueda simular una operación de transposición).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
UwF
Puntos
329
La transposición $\rho^T$ de una matriz de densidad de $\rho$ es de nuevo una matriz de densidad, además tiene los mismos autovalores como $\rho$ (incluyendo multiplicidades). Por lo tanto, $\rho^T$ es unitarily equivalente a $\rho$, es decir, existe una matriz unitaria $U_\rho$ tal que $\rho^T= U^*_\rho \rho U_\rho$.
Pero esta matriz depende de $\rho$. Si existe una matriz unitaria $U$ tal que $\rho^T=U^*\rho U$ para todas las matrices de densidad, entonces esto implicaría que el mapa de $\rho\mapsto\rho^T$ es totalmente positiva, lo que no es (como Juan ya se señaló.
Tenga en cuenta también que tomando la transpuesta depende de la elección de una base!
ewok
Puntos
172
La transposición no es un único mapa. Una manera simple de entender esto es, recordando que la transposición no es completamente positivo mapa. Más precisamente, vamos a $T$ ser la transposición de mapa. Luego de que el estado $\rho_1=(\hat{I}\otimes T)\cdot\rho$, en general, no será válida la densidad de natrix. Sin embargo, para los mapas de la forma $\hat{I}\otimes U$ para algunos unitario $U$, el estado de $\rho_2=(\hat{I}\otimes U)\cdot\rho$ siempre será válida la densidad de la matriz. Por lo tanto, la transposición mapa no es unitaria.
En algunos casos, la transposición de mapa podría ser equivalente a algunos unitario mapa de un estado en particular, pero esto no significa que el mapa en sí mismo puede ser representado como un unitario.
