¿Encuentra el resto de$(2n)^x\, ,n \in \Bbb N \,\,$ cuando se divide por$100$?

Question

No hay ninguna pregunta específica como tal. Me estoy preparando para un examen de aptitud, y estoy estancado en este punto en particular cuando estamos obligados a encontrar los dos últimos dígitos/resto cuando se divide por 100 de un número elevado a una de las grandes potencias.

• $48^{277}$
• $86^{58}$
• $42^{79}$
• $74^{53}$

El anteriormente publicado preguntas son sólo al azar, sino que son parte de mi plan de estudios. los números de la cubierta, incluso los números que terminan en 2, 4, 6, 8. si nada más es necesario, favor de tomar cualquier ejemplo y ayuda.

Answer 1

Nos fijamos por ejemplo en $74^{53}$. Esto es congruente a $0$ modulo $4$. Así que vamos a saber lo que es el modulo $100$ una vez que sabemos lo $74^{53}$ es el modulo $25$.

Tenga en cuenta que $74\equiv -1\pmod{25}$. Por lo tanto $74^{53}\equiv (-1)^{53}\equiv -1\pmod{25}$.

Por ello, queremos resolver el sistema $x\equiv 0\pmod{4}$, $x\equiv -1\pmod{25}$. Por inspección de la respuesta es $x\equiv 24\pmod{100}$. El resto es $24$.

Otro: El problema anterior puede ser hecho excepcionalmente rápido, porque de la $74$. Nos fijamos en $42^{70}$. De nuevo, esto es congruente a $0$ modulo $4$, de modo que el trabajo del modulo $25$. Por el Teorema de Euler, $42^{80}\equiv 1\pmod{25}$. Por lo $42^{79}$ es la inversa de a $42$ modulo $25$. Pero $42\equiv -8\pmod{25}$. Desde $(-8)(-3)\equiv -1\pmod{25}$, la inversa de a $-8$ modulo $25$$3$. Así, nuestro número es congruente a $3$ modulo $25$.

Así que estamos buscando un número divisible por $4$ que tiene resto $3$ sobre la división por $25$. Llegamos a la conclusión de que el resto en la división por $100$$28$.

Answer 2

Como se están preparando para la aptitud yo preferiría que le da algunos atajos para encontrar los últimos 2 dígitos, que le ahorrará tiempo

$(odd\ number)^{power}$ los 2 últimos dígitos solo depende de que el último dígito de la energía y los 2 últimos dígitos del número impar dado

CASO 1: si el número impar termina en 1 como $(y1)^{n}$ 2 últimos dígitos son (dígito de las unidades de de y*n)(1)

si es impar el número termina en 7 , 3 , 9 truco es el primero que llevarlo a una forma que termina en 1. tenga en cuenta que $7^4$ , $9^2$ , $3^4$ termina en 1

CASO 2: si el número es igual a$(x7)^{4}$, a continuación, los dos últimos dígitos son (unidades dígito 2*x)(1)

CASO 3: si el número impar es igual a $(x3)^{4}$ luego últimos dos dígitos (8 - [unidades dígito 2*x])(1)

CASO 4 : si el número impar es igual a $(x9)^{2}$ luego últimos dos dígitos (8 - [unidades dígito 2*x])(1)

ahora, habiendo hecho los números terminados en 1 , entonces el proceso es como en el caso 1 con el resto de la potencia después de la eliminación de 4 para el caso 2 y caso 3 o 2 para el caso 4

Ahora $(2)^{power}$ acceso directo es el siguiente

CASO 5 : si diez del lugar de poder es, incluso, los 2 últimos dígitos son sólo los 2 últimos dígitos de $2^{last\ digit\ of\ power}$

CASO 6 : si diez del lugar de poder es impar las 2 últimas cifras son sólo los 2 últimos dígitos de $3 \times 2^{last\ digit\ of\ power + 3}$

para el caso de 1,2,3,4 es para los números que terminan en número impar caso 5,6, para una potencia de 2

como cualquier número puede ser expresado como múltiplo de 2 y un número impar de una combinación ,de uno de los primeros 4 casos y un caso de 5 o caso 6 a buscar la respuesta para $(even\ number ) ^{power}$

con lo anterior atajo técnicas que yo soy capaz de calcular los últimos 2 dígitos en cuestión de 15 a 20 segundos sin calculadora