invariantes de nudos del grupo simétrico

Question

La producción de nudo/link invariantes es "tan simple como" el descubrimiento de las funciones de la trenza grupo invariantes bajo la Markov se mueve. Muchos clásica invariantes surgir en el carácter de una representación de la trenza del grupo: esto está garantizado para ser constante en las clases conjugacy (por lo que es fijado por una clase de Markov se mueve), y por representantes de la satisfacción de algunas propiedades adicionales que podemos construir un invariante que es totalmente de Markov mover invariante -- véase, por ejemplo, ch15 de Chari y Pressley, el libro de los grupos cuánticos.

Puesto que hay un surjective mapa de la trenza de grupo para el grupo simétrico, cada grupo simétrico representación da lugar a una representación de la trenza de grupo. Mi pregunta es: ¿podemos construir interesante nudo invariantes de grupo simétrico representaciones? Supongo que no, pero espero que alguien pueda explicar por qué.

Answer 1

La única información que el grupo simétrico cociente mantiene alrededor de un elemento de una trenza grupo es cómo las cadenas de conectar los vértices. La única información sobre el enlace correspondiente se puede determinar a partir de que es el número total de componentes (igual al número de ciclos de la permutación correspondiente). Toda la demás información es destruida por las relaciones $s_i^2 = 1$.

Sin embargo (y usted probablemente sabe esto, pero vale la pena decir) en lugar de mapeo en el grupo simétrico, se puede asignar en el Hecke álgebra de $S_n$ (lo que en lugar cociente de la relación como $s_i^2 = (q - 1) s_i + 1$). La teoría de la representación de la Hecke el álgebra es (la mayoría del tiempo) como la teoría de la representación de $S_n$, pero usted puede conseguir realmente interesante invariantes de esta manera. Véase, por ejemplo, Kassel y Turaev la Trenza de grupos.