Evaluación de integral$\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3}}dx$

Question

Calcular integral$\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3}}dx$ Esta fue mi pregunta de examen. He intentado muchos programas matemáticos y de resolución de problemas matemáticos en línea, pero ninguno fue capaz de resolverlos. Si alguien tiene una respuesta sería útil. Gracias

Answer 1

ps
$$I = \int\frac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3}}dx=\underbrace{\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+3}}dx}_{I_1}+\underbrace{\int \frac{1}{\sqrt{x^3+3}}dx}_{I_2}$ $ u-substitution$$I_1 = \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+3}}dx$$u=x^3$ $ u-substitution$$\int \frac{1}{3\sqrt{u+3}}du =\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{u+3}}du$$v=u+3$ $ Revertir las sustituciones$$I_1 = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{v}}dv = \frac{1}{3}\int v^{-\frac{1}{2}}dv = \frac{1}{3}\frac{v^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C$$v=u+3,u=x^3$ $

Ahora \begin{align} I_2 &= \int \frac{1}{\sqrt{x^3+3}}dx\\ &= \int \frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{x^3}{3}+1\right)}}dx\\ &= \int \frac{1}{\sqrt{3\left(\left(\frac{x}{\sqrt[3]{3}}\right)^3+1\right)}}dx \end {align} Establecer$$I_1 = \frac{2}{3}\sqrt{x^3+3} + C$, luego \begin{align} I_2&= \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{\sqrt{u^3+1}}du\\ \end {align} Ver: $u = \frac{x}{\sqrt[3]{3}} \implies dx = \sqrt[3]{3}\, du$

\begin{align} I_2&= \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{3}}\left[\frac1{\sqrt[4]{3}}F\left(\arccos\left(\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+u}-1\right)\mid\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\right]+C\\ \end {align} Revertir la sustitución original$\int\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}$: \begin{align} &= \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{3}\sqrt[4]{3}}F\left(\arccos\left(\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt[3]{3}}}-1\right)\mid\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)+C\\ \end {align}
Y

ps