Integral de función similar a error

Question

Tengo algunos problemas para evaluar la siguiente integral:

ps

Sé que el valor de esta integral doble es$$\int_{v=0}^{\infty}\int_{u=0}^{\infty}\frac{\sqrt{uv}}{(u+v)^2}e^{-\frac{(u+v)}{2}}dudv.$.

Sin embargo, intenté resolverlo usando el cambio de variables:$\dfrac{\pi}{4}$ y separé las variables sacando$t=u+v$. Al hacerlo, rinde

ps

pero no parece entrar en la forma de la función de error de Gaussian.

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}} \def\e{\mathrm{e}}$ Por el teorema de Tonelli, \begin{align*} \int_0^{+\infty} \int_v^{+\infty} \frac{\sqrt{v(t - v)}}{t^2} \e^{-\frac{t}{2}} \,\d t \d v &= \int_0^{+\infty} \int_0^t \frac{\sqrt{v(t - v)}}{t^2} \e^{-\frac{t}{2}} \,\d v \d t\\ &= \int_0^{+\infty} \e^{-\frac{t}{2}} \d t \int_0^t \frac{\sqrt{v(t - v)}}{t^2} \,\d v. \tag{1} \end {align *} Para un$t > 0$%, realiza la sustitución$\displaystyle v = t \sin^2 θ \ \left( 0 < θ < \frac{π}{2} \right)$ para obtener \begin{align*} \int_0^t \frac{\sqrt{v(t - v)}}{t^2} \,\d v &= \int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{t \sin^2 θ(t - t \sin^2 θ)}}{t^2} \cdot 2t \sin θ \cos θ \,\d θ\\ &= 2 \int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 θ \cos^2 θ \,\d θ. \end {align *} Por lo tanto \begin{align*} (1) &= 2 \int_0^{+\infty} \e^{-\frac{t}{2}} \d t \int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 θ \cos^2 θ \,\d θ\\ &= 2 \left( \int_0^{+\infty} \e^{-\frac{t}{2}} \d t \right) \left( \int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 θ \cos^2 θ \,\d θ \right). \end{align*}

Answer 2

Usando la representación integral$$\frac1{(u+v)^2}e^{-\frac{(u+v)}{2}}=\frac12\int^\infty_{1/2}t\,e^{-(u+v)t}\,dt$ $ y el teorema de Fubini, obtenemos \begin{align}\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\frac{\sqrt{uv}}{(u+v)^2}e^{-\frac{(u+v)}{2}}\,du\,dv&=\frac12\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\sqrt{uv}\int^\infty_{1/2}t\,e^{-(u+v)t}\,dt\,du\,dv\\&=\frac12\int^\infty_{1/2}t\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\sqrt{uv}\,e^{-(u+v)t}\,du\,dv\,dt \\&=\frac12\int^\infty_{1/2}t\left(\Gamma(3/2)\,t^{-3/2}\right)^2\,dt \\&=\frac{\pi}8\int^\infty_{1/2}t^{-2}\,dt=\frac{\pi}4\end {align} donde usamos la representación integral de la función Gamma y el conocido$\Gamma(3/2)=\dfrac{\sqrt{\pi}}2$.

Answer 3

Aquí está una ligera variación a @Alex Francisco solución que utiliza un cambio de variables para la integral doble directamente.

Vamos $$I = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{\sqrt{uv}}{(u + v)^2} \exp \left (-\frac{u + v}{2} \right ) \, du dv.$$

Considerar el cambio de las variables de $u(x,y) = x \cos^2 y$$v(x,y) = x \sin^2 y$. El Jacobiano para este cambio de variables es $$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = 2x \sin y \cos y,$$ mientras que para el semi-infinita de la región en el primer cuadrante ($x,y \geqslant 0$) bajo una transformación de los límites de integración se vuelven $0 \leqslant x < \infty$$0 \leqslant y \leqslant \pi/2$. Por último, señalar que $$u + v = x \quad \text{and} \quad uv = x^2 \sin^2 y \cos^2 y,$$ desde $$\int \!\!\!\int_{\mathcal{R}} f(u,v) \, d(u,v) = \int \!\!\!\int_{\mathfrak{R}} f(x,y) \left |\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right | \, d(x,y),$$ donde $\mathcal{R}$ es la región en la $uv$-avión, mientras $\mathfrak{R}$ es la región en la $xy$-plano, la integral se convierte en $$I = 2 \int_0^\infty e^{-x/2} \, dx \int_0^{\pi/2} \sin^2 y \cos^2 y \, dy,$$ dado por @Alex Francisco.