¿Hay alguna versión de foliaciones del teorema barrio tubular?

Question

Esta pregunta surge cuando estaba estudiando Beauville libro del Complejo de Superficies Algebraicas'.

Castelnuovo del teorema dice que un suave racionales de la curva de $E$ sobre una superficie algebraica $S$ es un excepcional de la curva de iff $E^2=-1$. La prueba en Beauville del libro es encontrar una muy amplia divisor $H$ satisfacción $H^1(S,\mathcal{O}_S(H))=0$ primero, y, a continuación, establezca $H'=H+kE$ donde $k=H\cdot E$. El sistema lineal de $H'$ da un proyectiva de morfismos de $S$ $\mathbb{P}^n$que los contratos de $E$, y, a continuación, algunos topológico argumentos implica que la imagen de $S$ es realmente suave.

Aunque esta prueba no es difícil de entender, todavía quiero una prueba basada en complejos colectores, pero no de la geometría algebraica.

Pregunta: ¿hay alguna holomorphic versión de la pieza tubular barrio teorema?

Tengo varias razones para plantear esta pregunta:

1. Si tenemos algo de holomorphic tubular barrio teorema, podemos identificar algunas vecindario $U$ $E$ $S$ con vecindario $V$ de la sección cero en $N_E$. Aquí $N_E$ es el holomorphic normal paquete de $E$. A continuación, $E^2=-1$ fácilmente implica $N_E\cong\mathcal{O}_{E}(-1)$, lo $E$ puede ser contratado en $U$ directamente. Así, no sólo demostrar Castelnuovo del teorema, pero también generalizar a la no-superficies algebraicas.

2. Existe una simpléctica versión de la pieza tubular barrio teorema, así que supongo que la holomorphic caso también es cierto.

Cualquier respuesta o comentarios son bienvenidos. Yo realmente aprecio su ayuda.

Answer 1

No tengo una prueba de que esto funciona, pero de acuerdo a Joe Harris, si $C \subset \mathbb{P}^2$ es una suave curva cónica, entonces no hay holomorphic mapa de un barrio de $C$$C$, algo que sería factible, si hubo un holomorphic tubular barrio teorema. Además, afirmó que, si dejas $X$ ser el espacio total de la normal paquete de $C$, $C \subset X$ como la sección cero, entonces el primer fin de barrios de $C$ $X$ y en $\mathbb{P}^2$ no son isomorfos. De nuevo, me falta la prueba, pero la segunda afirmación es algo que asumo que se puede comprobar de manera algebraica.

Aparte: hay otra manera de que usted podría intentar cocinar un contraejemplo. Si hubo un tubular barrio teorema, con $X \subset Y$ complejos colectores, vamos a $Z$ ser el espacio total de la normal paquete de $X$$Y$. Entonces uno tiene que $T_Z|_X = T_X \oplus N_{Y/X}$$Z$, y así que si usted sigue a través de la supuesta mapa en el holomorphic tubular barrio teorema, se puede conseguir que la $T_Y|_X = T_X \oplus N_{Y/X}$.

Editado para añadir: aquí es algo que me puede mostrar un contraejemplo. Deje $\pi: X \rightarrow V$ ser un no-isotrivial adecuada de la familia de curvas de género mayor que $2$. Elegir un suave fibra $C = \pi^{-1}(p)$. A continuación, un barrio de $C$ contiene $\pi^{-1}(U)$ para algunos vecindario $U$$p$, y tengo que $\pi^{-1}(q) \neq \pi^{-1}(p)$ por un denso conjunto abierto de todos los $q \in U$. Entonces, cualquier mapa de $\pi^{-1}(U) \rightarrow C$ factor a través de $\pi$: fibra no isomorfo a $C$ admite no no constante mapas a$C$, por lo que cualquier holomorphic mapa de $\pi^{-1}(U)$ factores a través de $\pi$ sobre una densa abierto y así lo hace en todos los de $\pi^{-1}(U)$. Pero entonces, si el holomorphic tubular barrio teorema de fuera cierto, no sería un holomorphic mapa de $\pi^{-1}(U) \rightarrow C$ que restringe a la identidad en $C$, lo cual está en contradicción con lo que se comentó.