Limite de $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\cos\frac{x}{n} + \sin\frac{2x}{n}\right)^n$

Question

Dado el límite: $$\ lim_ {n \ to \ infty} \ left [\ cos \ left (\ frac {x} {n} \ right) + \ sin \ left (\ frac {2x} {n} \ right ) \ right] ^ {n} = \ alpha$$

Encuentre el valor de$\alpha$.

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Supongo que hay una técnica especial de cómo resolver tales expresiones. Lamentablemente, no estoy familiarizado con eso.

¿Alguien podría ponerme en el punto?

Answer 1

Al usar las siguientes expansiones de Taylor en$0$,$\cos(t)=1+o(t)$,$\sin(t)=t+o(t)$ y$\ln(1+t)=t+o(t)$, tenemos ese $$\begin{align}\left(\cos\left(\frac{x}{n}\right) + \sin\left(\frac{2x}{n}\right)\right)^n &=\exp\left(n \ln\left(\cos\left(\frac{x}{n}\right) + \sin\left(\frac{2x}{n}\right)\right)\right) \\&=\exp\left(n \ln\left(1 + \frac{2x}{n}+o(1/n)\right)\right) \\&=\exp\left(n \left(\frac{2x}{n}+o(1/n)\right)\right). \end {align}$$ ¿Puede tomar desde aquí?

Answer 2

Respuesta corta:

$$\cos\frac xn\approx1^*,\\\sin\frac{2x}n\approx\frac{2x}n^* luego

ps

$$\left(1+\frac{2x}n\right)^n\to e^{2x}.$ los siguientes términos son insignificantes.

Answer 3

Como$\sin(2a) =2\cos a\sin a$,$\sin x\sim x$ y$\cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$$$\lim_{n\to+\infty}\left(\cos\frac{x}{n} + \sin\frac{2x}{n}\right)^n = \lim_{n\to+\infty}\left(1 + 2\sin\frac{x}{n}\right)^n\left(\cos\frac{x}{n} \right)^n \\ \sim \left(1 + \frac{2x}{n}\right)^n\left(1-\frac{x^2}{2n^2}\right)^n \\\overset{\color{red}{h=\frac{x}{n}}}{=}\underbrace{\exp\left(2x\frac{\ln(1+2h)}{2h}\right)}_\overset{h\to 0}{\to e^{2x}} \underbrace{\exp\left(\frac{xh}{2}\frac{\ln(1-\frac{h^2}{2})}{\frac{h^2}{2}}\right)}_{\overset{h\to 0}{\to 1} }\overset{h\to 0}{\to} e^{2x}

Dado que$$ \lim_{X\to 0}\frac{\ln(1+X)}{X} =0

Answer 4

Considere la secuencia $$a_{n} =\frac{\cos(x/n) +\sin(2x/n)}{1+(2x/n)}$$ and then we have $$n(a_n-1)=n\cdot\frac{\cos(x/n) - 1+\sin(2x/n)-(2x/n)}{1+(2x/n)}$$ and it is easily seen that $n (a_n-1) \ to 0$ and therefore $a_n ^ {n} \ to 1$. Using the fact that $(1+ (2x / n)) ^ {n} \ a e ^ {2x}$ the desired limit is $e ^ ​​{2x}$.