Singularidad de la escalera cuántica para el oscilador armónico

Question

Contexto:

Griffith libro sobre Mecánica Cuántica (QM), en la Sección 2.3.1, trata de resolver para los estados estacionarios $\psi(x)$ de un oscilador armónico mediante la resolución de la Época Independiente de la Ecuación de Schrödinger (TISE),

$$\frac{1}{2m}[p^{2}+(m\omega x)^{2}]\psi=E\psi,$$

utilizando el método de la escalera de los operadores. La escalera de los operadores método se inicia a partir de un postulado definición de $a_{+}$ $a_{-}$ (eq. 2.47):

$$ a_{\pm}\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega m}} (\mp i p+m\omega x),$$

que, a continuación, se muestra para el trabajo en términos de factorización de la Hamiltoniana $H=[p^{2}+(m\omega x)^{2}]/(2m)$, y por lo tanto se utiliza para aumentar/disminuir la energía en pasos discretos. La discusión viene a la cabeza en la p.46 y en la nota 21, donde se concluye que "podemos construir todos los estados estacionarios" por la aplicación repetida de este operador $a_{+}$, empezando desde el más bajo nivel de energía (rung) en la escalera, $E_{0}$, y que esa escalera es único porque dos escaleras con el mismo tamaño de paso ($\hbar \omega$) y común primeros peldaños por completo a la superposición y, por tanto, ser idénticos.

Sin embargo, desde un punto lógico de usted, podría ser un pequeño problema para el lector hasta este punto, ya que no fue probado (o discutir) que dichos operadores ($a_{+}$,$a_{-}$) y su consiguiente escalera (con $\pm \hbar \omega$ tamaño de paso) fueron las únicas posibles, que podría representar el Hamiltoniano (es decir, no hay singularidad fue discutido), y por lo tanto, uno podría empezar a imaginar un ejemplo de otro conjunto de posibles operadores que producen los pasos de la mitad del tamaño de los expuestos ( $\hbar \omega/2$ , en lugar de $\hbar \omega$), y produce un efecto diferente de la escalera, que todavía se superponen con el original de la escalera, incluso para el común de la parte inferior peldaño de ($E_{0}$), pero con dos veces el número de peldaños. Por extensión, un número infinito de tales escalas de tamaño de paso igual a $\hbar \omega/n$ donde $n$ es un entero, se puede imaginar en este sentido, y que aún no entran en conflicto el uno al otro. Tal singularidad no es rigurosamente discutido.

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El problema:

Creo que la clave a la conclusión de que sólo tenemos una única escalera:

1. primero probar que todos los operadores de producir las escaleras con el mismo peldaño inferior;
2. y , a continuación, para mostrar que el original operadores ( $a_{\pm}$ ), en realidad, dar el más mínimo paso de energía de tamaño (resolución) entre todos los admisible operadores/escaleras (y por lo tanto ser nuestra única opción para los operadores, ya que otros operadores sería simplemente múltiplos enteros de ellos). Pero hay un problema aquí, como se describe a continuación.

Punto (1) es fácil de probar: los nuevos operadores como $a^{2}_{-}$, $a^{2}_{+}$, y de hecho, cualquier generalización de los mismos ($a^{m}_{-}$, $a^{m}_{+}$, para $m\in \mathbb{Z}$), comparten el mismo peldaño inferior con el original de la escalera de los operadores ( $a_{-}$ $a_{+}$ ). Puedo probar este rigor de la siguiente manera: supongamos que tenemos $m=2$, y deseamos encontrar su más bajo nivel estatal ($\bar{\psi_{0}}$ para este caso, para distinguirlo del original en caso de $\psi_{0}$), luego encontramos con poner:

\begin{eqnarray} a_{-}a_{-}\bar{\psi_{0}}&=&0 \nonumber\\ \Rightarrow a_{+}a_{-}(a_{-}\bar{\psi_{0}})&=&0 \nonumber\\ \Rightarrow (a_{-}a_{+}-1)(a_{-}\bar{\psi_{0}})&=&0 \nonumber\\ \Rightarrow a_{-}\bar{\psi_{0}}&=&a_{-}\underbrace{(a_{+}a_{-}\bar{\psi_{0}})}_{=(0)\bar{\psi_{0}}=0} \nonumber\\ \Rightarrow a_{-}\bar{\psi_{0}}&=& 0 \nonumber \end{eqnarray} \begin{equation} \Rightarrow \boxed{\bar{\psi_{0}} \equiv \psi_{0}}, \nonumber \end{equation}

lo que demuestra que todas esas escaleras definitivamente comparten el mismo peldaño (yo he usado el hecho de que $a_{+}a_{-}\psi_{n}=n\psi_{n}$ en la anterior reducción a cero). Las pruebas semejantes puede ser hecho por mayor $m$.

Sin embargo, el punto (2) está demostrando ser más sutil y direcciones de la posibilidad de la construcción de nuevos operadores que no son de la forma $a^{m}_{-}$, $a^{m}_{+}$, para $m\in \mathbb{Z}$. Tomamos nota de que la totalidad de la elección de los operadores $a_{-}$, $a_{+}$ como igual a: $(\text{constant})[\pm\hbar D + m\omega x]$ donde $D\equiv\frac{d}{dx}$, fue originalmente basado simplemente en ellos la producción de un segundo orden derivados ($D^{2}\equiv\frac{d^{2}}{dx^{2}}$) cuando multiplica juntos, para que coincida con el Tiempo Independiente de la Ecuación de Schrödinger (TISE). Desde TICIA es de segundo orden, la elección de $a_{\pm}$ fue hecho para tener cada operador con un primer orden de operador de la derivada de ($D$), que es una elección natural. Luego se comprobó que su producto es de la forma:

$$b_{-}b_{+}\ \ \ \varpropto \ \ \ \left[\underbrace{-\hbar D^{2}+(m\omega x)^{2}}_{=2 m H} + \text{some constant} \right],$$

(aquí he elegido la carta de $b_{\pm}$ a generalizar la discusión y posterior de distinguir del original operador $a_{\pm}$), que más tarde escrita en $H$ en el siguiente formulario

$$ H= \hbar\left( b_{-}b_{+} - \phi \right)\ \ \ ;\ \ \ H= \hbar\left( b_{+}b_{-} + \phi \right),$$

donde $\phi$ es una constante. Y esto nos dará más tarde

$$ \text{Commutator}[b_{-},b_{+}]=2\phi, $$

que más tarde nos da la clave de las conclusiones que la energía de los saltos en los pasos como

$$ \boxed{H(b_{-}\psi)=[E-(2\phi)\hbar\omega]\ \psi \ \ \ ;\ \ \ H(b_{+}\psi)=[E+(2\phi)\hbar\omega]\ \psi}. $$

Ahora, sí, claramente, si elegimos los operadores de $b_{\pm}$ como antes de ser algunos más entero el orden original de los operadores de $a_{\pm}$ (como$a^{m}_{\pm}$,$m\in\mathbb{Z}$), entonces es claro que tendrá GRANDES pasos en la escalera, y, por tanto, $a_{\pm}$ son los operadores con los mejores permitido la resolución de los pasos (más pequeño permitido el paso). Y ya hemos demostrado (arriba) que el primer peldaño es compartida por todos los operadores ( $a^{m}_{\pm}$ ,$m\in\mathbb{Z}$), el original $a_{\pm}$ operadores son, sin duda, brillante y único. Pero, ¿y si elegimos a los operadores de $b_{\pm}$ que son no de la forma$a^{m}_{\pm}$,$m\in\mathbb{Z}$ ? Lo que si he elegido fracciones de derivados, por ejemplo, como $D^{1/2}$ o $D^{3/2}$ (que también son formales de los operadores en la matemática aplicada análisis--- por ejemplo, véase la página de la wiki), que cuando se multiplica aún le dará de segundo orden ($D^{2}$), y por lo tanto puede factorizar $H$ y representan el TISE ecuación? De hecho, su aplicación a este problema puede ser especialmente útil porque tenemos la $x$ dependencia de la forma $x^{k}$, que se presta de manera relativamente sencilla a la derivada fraccional operadores.

Griffith texto de no discutir si esto es factible o no, y por lo tanto deja la puerta abierta a la imaginación del lector (o malestar) acerca de la unicidad aquí. Por ejemplo, ¿qué pasa si elegimos decir:

$$ b_{-} \ \varpropto \ \ (\hbar D)^{1/2} + (m\omega x)^{3/2}\ \ \ ;\ \ \ b_{+} \ \varpropto\ \ - (\hbar D)^{3/2} + (m\omega x)^{1/2}$$

o algunas otras definiciones similares que, cuando se multiplica, nos podría llevar (con la ayuda de la función Gamma identidades que generalmente son el resultado de las fracciones de derivados) de nuevo a la buscaron la forma de: $$b_{-}b_{+}\ \ \ \varpropto \ \ \ \left[\underbrace{-\hbar D^{2}+(m\omega x)^{2}}_{= 2 m H} + \text{some constant} \right],$$ (asumiendo que se podría hacer sabio algebraicas opciones para producir la constante en esta expresión), y a continuación, encontramos $$ H= \hbar\left( b_{-}b_{+} - \phi \right)\ \ \ ; \ \ \ H= \hbar\left( b_{+}b_{-} + \phi \right),$$

con algunos de los nuevos $\phi$ menos de lo que se $1/2$ (que es $\phi<0.5$), y por lo tanto producir una nueva escalera "legal" de la energía pasos que son más PEQUEÑOS de lo $\hbar\omega$ (es decir, el paso de energía tamaño de la $\boxed{2\phi\hbar\omega}$) ?

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Cualquier ayuda en la solución de esta idea de la singularidad sería apreciada.

Answer 1

Su argumento es correcto, por supuesto: no hay garantía de que no habrá muchos más estados que nuestra escalera de los operadores no llegan. El más simple posibilidad es otro equivalente de la escalera en paralelo, pero los estados en entre la escalera estados pueden ocurrir también.

En el caso del oscilador armónico cuántico, hay más argumentos específicos que usted puede hacer. Valter Moretti señala aquí que si usted asume el espacio de Hilbert es $L^2(\mathbb{R})$, usted sabe que el estándar de la escalera de los estados es suficiente, ya que da una base completa. Creo que las normas de su propuesta con fracciones de derivados, pero usted todavía puede obtener una escalera oculta si el espacio de Hilbert es en realidad más grande, como $L^2(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{Z}_2$. Un modelo explícito aquí es paralelo dos escaleras tanto con espaciado $\hbar \omega/2$, donde la elevación del operador hemos dado plantea en ambos a la vez.

Pero a partir de una vista fenomenológico esto es al lado del punto. Por supuesto que hay muchos modelos se puede usar; la clave es encontrar lo que se ajuste a experimentar. Sabemos que una transición entre estados con la diferencia de energía $\hbar \Delta \omega$ libera un fotón de frecuencia $\Delta \omega$. También sabemos que un clásico partícula oscila con frecuencia $\omega$ emite radiación de frecuencia $\omega$ (y los armónicos de la misma). Que nos dice que nuestro modelo cuántico de las necesidades de energía espaciamientos de $\hbar \omega$ a encajar con el experimento, y no menor.

Por supuesto, usted puede postular otros estados y hacer algunos regla de que nunca se puede irradiar, pero la navaja de Occam significa que este modelo es peor. Experimento nos empuja hacia el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ y el Hamiltoniano $H = p^2/2m + kx^2/2$, donde la escalera es completa.

Answer 2

El Hamiltoniano de la factorización de un producto que no conducen necesariamente a la escalera de los operadores. Supongamos que el Hamiltoniano es escrito como $H=MN$, luego $$ [H,M]=[MN,M]=M[N,M]. $$ A menos $[M,N]$ es una constante, como la tradicional escalera de operadores para el SHO, $M$ $N$ no son de la escalera de los operadores. De hecho, un operador $M$ es una escalera operador cuando es un eigenoperator para el adjunto de la acción $\text{ad}(H)$ para el Hamiltoniano: $$ \text{ad}(H)M=[H,M]=\lambda M, $$ donde $\lambda$ es un número complejo. Supongamos $|\psi\rangle$ es un eigenstate para $H$ con autovalor $c$, luego $$ HM|\psi\rangle=(\lambda M+MH)|\psi\rangle=(\lambda+c)M|\psi>. $$ No importa si $M$ "divide" el Hamiltoniano. Obviamente $\lambda$ debe ser real si los valores se interpretan como los posibles resultados de una medida de la energía.

Como te has dado cuenta, no sólo de $a_+$ $a_-$ son eigenoperators para $\text{ad}(H)$, pero el poder de ellos. De manera más general, definir el grado de un monomio $a_+^na_-^m$ $$ \text{grado}(a_+^na_-^m)=n-m, $$ cualquier monomio es una eigenoperator con autovalor igual a su grado: $$ \text{ad}(H)(a_+^na_-^m)=(n-m)a_+^na_-^m. $$ Cualquier suma de mismo grado en el que los operadores también es un eigenoperator. Aún más: si la recíproca puede ser definida como la ratio entre el mismo grado en el que los operadores también están eigenoperators. Como ejemplo, vamos a $M=2a_+^7a_-^5+7a_+^3a_-$. Así $$ [H,M]=2M, $$ y $$ [H,M^{-1}]=-\frac{1}{2}M^{-1}, $$ donde el hecho de que si $[H,M]=\lambda M$, $[H,M^{-1}]=-\frac{1}{\lambda}M^{-1}$ fue utilizado. El último de identidad puede ser obtenida a partir de a $[H,MM^{-1}]$.

Los operadores pueden ser expresados como una función de la posición y el impulso de los operadores o, de manera equivalente, en términos de$a_+$$a_-$: la transformación entre ellos es invertible. Como cualquier operador puede ser escrita como una función de la $a_+$ $a_-$ y cualquier eigenoperator para $\text{ad}(H)$ es una cantidad o proporción de un mismo grado monomials, en su punto 2) puede ser reformulada como: ¿debe el grado de ser necesariamente un número entero? La respuesta es no. El operador $\sqrt{a_+}$ (si existe), por ejemplo, es un eigenoperator para $\text{ad}(H)$: $$ [H,\sqrt{a_+}]=[a_+a_-,\sqrt{a_+}]=a_+[a_-,\sqrt{a_+}]=\frac{1}{2}\sqrt{a_+}. $$ Se utilizó la regla formal $[a_-,f(a_-,a_+)]=\frac{\partial f}{\partial a_+}$. Si $|\psi\rangle$ es un eigenstate con autovalor $c$ $$ H\sqrt{a_+}|\psi\rangle=(c+\frac{1}{2})|\psi\rangle. $$

Por ahora, deberíamos concluir que las nuevas soluciones para el quantum de oscilador armónico simple se puede obtener mediante la aplicación repetida de un operador como $a_+^{1/n}$, $n$ un entero, en el terreno del estado de $|0\rangle$? No, No debemos porque:

1. Operadores como $\sqrt{a_-}$ no podría existir. La matriz $\left({\begin{smallmatrix}\\0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$, por ejemplo, no tiene raíz cuadrada.

2. Incluso si existen, pueden producir estados que no son de cuadrado integrable.

He buscado una definición de $(x-\frac{d}{dx})^{1/2}$, pero no pude encontrar uno. El plan fue aplicar este operador a una función Gaussiana y ver si el resultado satisface la ecuación de Schrödinger.

En conclusión, tu pregunta puede ser respondido completamente a si los dos puntos anteriores se resuelven.