Quiero saber cada bit que hay que entender en esta prueba siguiente

Question

Estoy avergonzado de mí mismo por no responder a mi profesor cuando le preguntó si he encontrado la prueba a mí mismo. Me dio la impresión de que hice lo que todavía no era cierto. Así que me quiero hacer lo correcto.

Se trata de la prueba de que el producto de las funciones de $f$ $g$ es continua. He encontrado la prueba de que aquí, en la 1ª página en la parte inferior de la página. Me gustaría saber por qué él/ella se inicia con el establecimiento de requisitos previos como $\epsilon \lt 1$$M = \max(f(a), |g(a)|,1)$. Ciertamente, yo no entiendo por qué poner $M$, al igual que.

Y la segunda frase entiendo porque primero de todo, es la definición de lo que ya sabemos acerca de la continuidad y, a continuación, establecer una hipótesis,ok.

Pero entonces la desigualdad $f(x) \lt f(a) + \dfrac{\epsilon}{3M} \le M + \dfrac{\epsilon}{3M}$ ¿por Qué fue exactamente lo que él/ella hacer eso?

Gracias por hacer las cosas bien.

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que $a$ es elegido de antemano, de modo que se permite el uso de cualquier cosa que dependen directamente de la $a$. Ahora la desigualdad: $$|(fg)(x) − (fg)(a)| \leq |f(x)||g(x) − g(a)| + |g(a)||f(x) − f(a)|$$ son capaces de estimar la $|f(x) − f(a)|$$|g(x) − g(a)|$$\varepsilon$, pero para hacer esto correctamente, también debemos absolver $|f(x)|$$|g(a)|$. Tenga en cuenta que el último es un número fijo, ya que $a$ fue elegido en primer lugar. Necesitamos calcular $|f(x)|$. Esto se puede hacer mediante el uso de la inversa de la desigualdad del triángulo: $||f(x)| − |f(a)||\leq |f(x) − f(a)|$, lo que implica que $|f(x)| − |f(a)|\leq |f(x) − f(a)|$ e lo $|f(x)|\leq|f(a)|+|f(x) − f(a)|$. Podemos ver que tanto puede ser estimada.

Ahora, para la estimación: queremos algún número mayor que el de $|f(a)|$ $|g(a)|$ (por lo que el inverso multiplicativo es pequeña), pero también mayor que $1$ para evitar la división por $0$, de modo que podemos elegir algunos $M=\max(|f(a)|, |g(a)|,1)$: $$\color{red}{|f(x)|}|g(x) − g(a)| + \color{green}{|g(a)|}|f(x) − f(a)|< \color{red}{|f(x)|}\varepsilon + \color{green}{|g(a)|}\varepsilon\leq\color{red}{(M+\varepsilon)}\varepsilon+\color{green}{M}\varepsilon$$

Ahora, por supuesto, queremos que todo esto estimado por sólo un $\epsilon$, por lo que en el principio, él elige $\varepsilon=\frac{\epsilon}{3M}$, donde se incluyen las $M$ a absolver a los $M$'s y $3$ limpiamente estimar el tres $\varepsilon$-términos. Vemos que $$(M+\varepsilon)\varepsilon+M\varepsilon=\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon^2}{9M^2}+\frac{\epsilon}{3}$$

Ahora, sin pérdida de generalidad (debido a que estas pruebas son siempre sobre un pequeño $\epsilon$'s) dejamos $\epsilon<1$ limpiamente estimar el mediano plazo, por lo $$\frac{\epsilon^2}{9M^2}=\epsilon\frac{\epsilon}{9M^2}<\frac{\epsilon}{9M^2}\leq\frac{\epsilon}{9}$$ donde recordamos que $M\geq 1$, lo $\frac{1}{M}\leq 1$. Y así terminamos con $$\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon^2}{9M^2}+\frac{\epsilon}{3}< \epsilon$$

Me parece que su prueba más difícil. Se puede hacer mucho más fácil.

También, esto se parece mucho, pero más tarde se acostumbrará a este tipo de pensamiento (y todo se vuelve trivial).

Answer 2

Estoy escribiendo esto por diversión. La pregunta para la explicación de la prueba. La primera vez que voy a explicar la prueba, antes de usarlo para analizar que la prueba, de modo que OP conoce el papel de $M$, "$\epsilon<1$" y $\epsilon/3$ en la prueba.

La crítica de la prueba

Para entender primaria epsilon-delta pruebas de cálculo, que yo no siga el literal orden--se ponen en forma con el fin de conseguir una lógica respuesta correcta. Lógicamente correcto, las cosas pueden no ser de utilidad para los matemáticos, tales como la prueba de $1+1=2$ y la prueba del Lema de Zorn.

El uso de $\epsilon/3$ en los enlaces de la prueba es no sugerido para los estudiantes, especialmente en las pruebas o exámenes. Usted puede fácilmente estropear las cosas bajo estrés y presión---es lógicamente fino para poner $M\epsilon$ donde $M$ es una constante. Esta práctica es común en los más avanzados de matemáticas. De hecho, el autor intenta cambiar $M\epsilon$$\epsilon$. Esto añade ningún rigores de la prueba, pero hace de los argumentos demasiado complicado para la revisión y lectura---esto me motiva a dar este tipo de crítica a la prueba.

Paso a paso la explicación de la prueba

El pensamiento de la inversa permite asimilar la prueba, de manera que pueda responder a preguntas similares en el futuro-que es la infalible.

1. Fix $\epsilon > 0$
2. Saltar a $|(fg)(x)-(fg)(a)|<\epsilon$ omitir la configuración en $\delta$. Este es nuestro objetivo.
3. Pensar acerca de $f(x)\underset{x\to a}\longrightarrow f(a)$ $g(x)\underset{x\to a}\longrightarrow g(a)$ (vago) las palabras: "al $x$ es cerca de $a$, ...". Utilizar esto para obtener $\delta' := \delta_f \wedge \delta_g$, de modo que usted puede utilizar $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ $|g(x)-g(a)|<\epsilon$ al mismo tiempo. (Escriba $\delta_1,\delta_2$ si lo desea).
4. El uso de las desigualdades en el paso (3) para terminar nuestro objetivo en (2), se necesitan para insertar cualquiera de las $f(x)g(a)$ o $f(a)g(x)$. WLOG, nos quedamos con la opción del autor: $f(x)g(a)$.
5. Para equilibrar el efecto de (4), ponemos a otro $f(x)g(a)$ en el lado izquierdo de (2), pero opuesto signo, de manera que se convierta $|f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)|$
6. A partir de esto, es obvio que tenemos que aplicar la desigualdad de triángulo y factor de algunos términos $|f(x)||g(x) − g(a)| + |g(a)||f(x) − f(a)|$.
7. Aplicar (3): intuitivamente al $x$ es "cerca de" $a$, $|f(x)|$ es "cerca" $|f(a)|$. Dibujar un (vertical) de línea recta para ver el sentido geométrico de $|f(x)-f(a)|<\epsilon$. (La distancia entre el $f(x)$ $f(a)$ es de menos de $\epsilon$.) A partir de esto, podemos llegar fácilmente a $|f(x)|<|f(a)|+\epsilon$. Entonces (6) está acotada arriba por \begin{align} & |f(x)||g(x)-g(a)|+|g(a)||f(x)-f(a)| \\ &\le (|f(a)|+|f(x)-f(a)|)|g(x)-g(a)|+|g(a)||f(x)-f(a)| \\ &= \color{blue}{|g(a)||f(x)-f(a)|} + \color{red}{|f(a)||g(x)-g(a)|} + |f(x)-f(a)| |g(x)-g(a)| \\ &< (|f(a)|+\epsilon)\epsilon + |g(a)|\epsilon \\ &= (|f(a)|+|g(a)|) \epsilon + \epsilon^2. \end{align}
8. Intuitivamente $\epsilon$ es "pequeño", (por lo $\epsilon^2$ es incluso "más pequeño"), por lo que está "hecho".
   • Lógicamente en (1), tenemos para todos los $\epsilon > 0$ en la propia definición de límite, así que no se puede descartar la plaza de $^2$ diciendo que $\epsilon^2 \le \epsilon$. Para solucionar este lógicas problema, vamos a cambiar (1) a $0 < \epsilon \le 1$.
   • Desde $\epsilon$ es arbitrario anteriormente, esto no afectará a la validez de otras desigualdades. De modo que la existencia de $\delta$ respuesta a la pregunta ha sido demostrado para el caso de $0 < \epsilon \le 1$.
   • Si $\epsilon > 1$, aplicar los resultados probados para $\epsilon' = 1$: $$\forall\,\epsilon>1, \exists\,\delta > 0 \dots |\cdots| < 1 < \epsilon$$

La explicación de que la prueba utilizando la prueba

Como otra respuesta señala, su profesor quiere que el RHS $$ \color{blue}{\epsilon |g(a)|} + \color{red}{\epsilon |f(a)|} + \epsilon^2 $$ "todos los estimado por sólo un" $\epsilon$. Para ello, se establece otro de los "más pequeños" $\epsilon$ en el paso (3) (i.e $\epsilon$ dividido un número "grande"$M$), por lo que $$\color{blue}{|f(x)-f(a)||g(a)|<\frac{\epsilon}{3} \iff |f(x)-f(a)| < \frac{\epsilon}{3|g(a)|}}$$ y $$\color{red}{|g(x)-g(a)||f(a)| < \frac{\epsilon}{3} \iff |g(x)-g(a)| < \frac{\epsilon}{3|f(a)|}}$$ si $f(a)\ne0$ $g(a)\ne0$. Nos pusimos $M \ge 1$ a solucionar este problema, por lo que el $M = \max(|f(a)|,|g(a),1)$. Es fácil comprobar que $|f(x)-f(a)| |g(x)-g(a)| < \dfrac\epsilon3$.

Comentario Final: Comparación de la respuesta de la alternativa de respuesta

• La alternativa de respuesta utiliza el hecho de que $3\times3=9$, como en el que la prueba. El mío ha marginalmente más simple aritmética calulations: yo sólo uso de la $1+1=2$$1\times3=3$.
• Mi respuesta tiene más puntos de las viñetas y listas numeradas.