La condición entre $\chi(1)$ y $[G:H]$ lo que nos da un subgrupo normal.

Question

$\textbf{The question is as follows:}$

Dejemos que $H \le G$ con $|G : H| = n$ y supongamos que $\chi \in Char(G)$ .

$\rm (a)$ Demostrar que $[\chi ; \chi] \ge \frac{[\chi_H; \chi_H]}{n}$ .

$\rm (b)$ Demuestre que, si $H$ es abeliana y $\chi \in Irr(G)$ entonces $\chi(1) \le n$ .

$\rm (c)$ Demuestre que, si la igualdad se mantiene en la parte (b), entonces $H \vartriangleleft G$ .

Puedo mostrar la primera parte de la siguiente manera:

$\rm (a)$ Tenemos $$|H| [\chi_H; \chi_H] = \sum_{h \in H}^{} |\chi(h)|^2 \le \sum_{g \in G}^{}|\chi(g)|^2 = |G|[\chi, \chi] $$

$\rm (b)$ Para la segunda parte puedo escribir

$$\chi(1)=\chi|_H(1)\le [\chi|_H,\chi|_G]\le [G:H][\chi,\chi]=[G:H]$$ Pero no estoy seguro de que sea correcto.

¿Puede alguien corregirme, por favor?

$\rm (c)$ ¡Para la tercera parte todavía no tengo ni idea hasta ahora!

¿Puede alguien ayudarme a mostrar esto, por favor?

Gracias.

Answer 1

Cualquier referencia aquí es al libro de Marty Isaacs, Teoría de los caracteres de los grupos finitos . Ahora para (b) hay que ser un poco más preciso: si $H$ es abeliano, y $\chi$ es un carácter irreducible de $G$ entonces $\chi_H=\sum_{\lambda \in Irr(H)}a_{\lambda}\lambda$ donde el $\lambda$ son lineales y los enteros $a_\lambda \geq 0$ . Por lo tanto, $[\chi_H,\chi_H]=\sum_{\lambda \in Irr(H)}a_{\lambda}^2 \geq \sum_{\lambda \in Irr(H)}a_{\lambda}=\chi(1).$ Por (a) y el hecho de que $\chi$ es irreducible por lo que $[\chi,\chi]=1$ , se obtiene en efecto $\chi(1) \leq [\chi_H,\chi_H] \leq |G:H|. \text{ } (*)$

Para (c) vamos a utilizar el Lemma (2.29) del libro de Isaacs, que dice que si se tiene un $\chi \in Irr(G)$ y un subgrupo $K$ entonces $[\chi_K,\chi_K]=|G:K|$ si y sólo si $\chi$ se desvanece en el exterior $K$ .

Supongamos ahora que $H$ es abeliana, $\chi \in Irr(G)$ con $\chi(1)=|G:H|$ . Por $(*)$ debemos tener eso $\chi$ se desvanece $H$ . Mira el set $\{g \in G: \chi(g) \neq 0 \}$ . Este conjunto es normal (ya que $\chi(g)=\chi(g^x)$ para cualquier $x \in G$ ) y está contenida en $H$ . Por lo tanto, $N=\langle g \in G: \chi(g) \neq 0 \rangle$ es una normal abeliana subgrupo de $G$ contenida en $H$ . Obsérvese que si $h \in H-N$ , entonces debemos tener $\chi(h)=0$ . Así que $\chi$ se desvanece incluso fuera $N$ y por el lema (2.29) en la otra dirección y aplicando (b) al subgrupo $N$ Debemos tener $|G:N|=[\chi_N,\chi_N]\leq \chi(1)=|G:H|$ . Por lo tanto, $|H| \leq |N|$ y debemos tener $H=N$ y ya está.