Sabemos que $$\lim_{n\rightarrow\infty}F_n(x)=F(x)$$ whenever $F$ is continuous at $x$ (where $F_n$ and $F$ son las correspondientes funciones de distribución), pero también debe ser cierto que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}(X_n=x)=0.$$ He intentado algunas cosas con $P(X_n\leq x)=P(X_n<x)+P(X_n=x)$$P(X\leq x)=P(X<x)$, pero no lo veo...
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Mau314
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He desarrollado una solución que es quizá el más complicado de lo que Michael estaba pensando, pero me gusta cómo cada ingrediente se utiliza de manera muy explícita:
En la situación descrita anteriormente, suponemos que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}(X_n=x)\neq 0,$$ lo que significa que para algunos $\epsilon>0$ hay un infinito conjunto de índices $I_\epsilon\subseteq\mathbb{N}$ tal que $$\forall n\in I_\epsilon:~\mathbb{P}(X_n=x)\geq\epsilon,$$ de modo que, en particular, $$\forall n\in I_\epsilon~\forall x'<x:~F_n(x')\leq F_n(x)-\epsilon.$$ Además, el hecho de que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}F_n(x)=F(x)$ y la continuidad de la $F$ $x$ nos dicen que para algunos $K\in\mathbb{N}$ $\delta>0$ hemos $$\forall k\geq K:~F_k(x)\leq F(x)+\frac{\epsilon}{3},~~\forall x'\in[x-\delta,x):~F(x)\leq F(x')+\frac{\epsilon}{3}.$$ Poniendo todo esto junto, vemos que para cualquier elemento $m$ del infinito conjunto de índices $I_\epsilon\cap [K,\infty)$ $x'\in[x-\delta,x)$ el siguiente se tiene: $$F_m(x')\leq F_m(x)-\epsilon\leq F(x)-\frac{2\epsilon}{3}\leq F(x')-\frac{\epsilon}{3}.$$ Por lo tanto, en la multitud innumerable $S=[x-\delta,x)$ hemos $$\lim_{n\rightarrow\infty}F_n(\cdot)\neq F(\cdot).$$ Sin embargo, por la definición de la debilidad de la convergencia, esto implica que el $F$ es discontinua en a $S$, lo cual es imposible para cualquier función de distribución.
Mau respuestas de otra manera, aquí es lo que yo tenía en mente de mi comentario: Deje $x$ ser un punto de continuidad de $F$. Por mi comentario de arriba, sabemos que hay una secuencia infinita $\{y_i\}_{i=1}^{\infty}$ tal que $y_i<x$ para todos los $i \in \{1, 2, 3, ...\}$, $F$ es continua en a $y_i$ todos los $i \in \{1, 2, 3, ...\}$, e $\lim_{i\rightarrow\infty} y_i = x$.
Ahora fix$n \in \{1, 2, 3, ...\}$$i \in \{1, 2, 3, ...\}$. Considerando el intervalo de $(y_i, x]$ hemos $$P[X_n=x] \leq P[X_n\leq x] - P[X_n \leq y_i] $$ Teniendo un límite de $n\rightarrow\infty$ y el uso de $F$ continuo en tanto $x$$y_i$: $$ \limsup_{n\rightarrow\infty} P[X_n=x] \leq F(x) - F(y_i) $$ Teniendo un límite de $i\rightarrow \infty$ y utilizando el hecho de que $F$ es continua en a $x$ da el resultado.
