Determinante de la matriz tridiagonal en bloque

Question

He encontrado en el siguiente pa Comentarios sobre ''Una nota sobre una recurrencia de tres mandatos para una matriz tridiagonal'' que podemos calcular el determinante de una matriz tridiagonal en bloque A mediante una recursión.

En mi caso particular A es $4n\times4n$ ,

$$\textbf{A}=\begin{pmatrix} \textbf{B}_L-h\textbf{R} & J\space\textbf{R} & \textbf{0} & \cdots & \textbf{0} \\ J\space \textbf{R} & -h\textbf{R} & J\space\textbf{R} & & \textbf{0} \\ \textbf{0} & J\space \textbf{R} & -h\textbf{R} &\ddots &\vdots \\ \vdots & &\ddots &\ddots & J\space\textbf{R}\\ \textbf{0} & \textbf{0} & \cdots & J \space\textbf{R} & \textbf{B}_R-h\textbf{R} \end{pmatrix}$$

donde $$\textbf{R}=\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ \end{pmatrix},\space \textbf{B}_{L,R}=\begin{pmatrix} 0&\frac{i}{2}\Gamma_{+}^{\text{L,R}}&-\frac{i}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}&\frac{1}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}\\ -\frac{i}{2}\Gamma_{+}^{\text{L,R}}&0&\frac{1}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}&\frac{i}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}\\ \frac{i}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}&-\frac{1}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}&0&\frac{i}{2}\Gamma_{+}^{\text{L,R}}\\ -\frac{1}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}&-\frac{i}{2}\Gamma_{-}^{\text{L,R}}&-\frac{i}{2}\Gamma_{+}^{\text{L,R}}&0\\ \end{pmatrix} $$ y $$J,h,\Gamma_{+}^{\text{L,R}},\Gamma_{-}^{\text{L,R}} \in \mathbb{R}$$

Ahora permítanme enunciar la recursividad mencionada en el documento anterior,

$$\text{det}(\textbf{A})=\prod_{k=1}^{n}\text{det}(\Lambda_{k})\space\space\space\space(1)$$

donde (en mi caso),

$$ \Lambda_{1} = \textbf{B}_L-h\textbf{R}\\ \Lambda_{k} = -h\textbf{R}-J^{2}\textbf{R}\Lambda_{k-1}^{-1}\textbf{R}\\ \Lambda_{n}=\textbf{B}_R-h\textbf{R}-J^{2}\textbf{R}\Lambda_{n-1}^{-1}\textbf{R} $$ Ahora, según (1), el conjunto de valores propios de $\textbf{A}$ debe contener los valores propios de $\Lambda_{1} = \textbf{B}_L-h\textbf{R}$ ya que aplicando (1) a $\textbf{A}-\lambda I_{4n}$ da $\Lambda_{1}^{'} = \textbf{B}_L-h\textbf{R}-\lambda I_{4}$ .

Ahora viene mi problema .

He calculado el espectro de A en Mathematica para $n=50$ para los valores $h=1,J=1.5,\Gamma_{+}^{\text{L}}=1.6,\Gamma_{+}^{\text{R}}=1.3,\Gamma_{-}^{\text{L}}=-0.4,\Gamma_{-}^{\text{R}}=-0.7$

Encontré que el espectro no contenía los valores propios de $\textbf{B}_{L}-h\textbf{R}$ . Mi pregunta es: ¿Esta recursión no es aplicable a mi caso, o me equivoco al afirmar que el conjunto de valores propios de A debe contener los valores propios de $\Lambda_{1}$ ?

Answer 1

Segundo. Así es, $\Lambda'_2$ ya no es un polinomio en $\lambda$ además, se vuelve indefinido cuando $\lambda$ es un valor propio de $\Lambda_1$ .

Answer 2

La recursión del documento es una generalización de la relación de determinantes clásica para matrices en bloque (véase Wiki ): si $A$ es invertible entonces $$ \det\begin{bmatrix}A & B\\C & D\end{bmatrix}=\det A\cdot\det(D-CA^{-1}B). $$ La matriz bloque no comparte valores propios con la matriz $A$ en general, ya que $\lambda I-A$ no es invertible para un valor propio $\lambda$ de $A$ por lo que no se puede aplicar la fórmula.

Edición: existe una fórmula alternativa para evaluar el determinante de una matriz tridiagonal aquí (véase el teorema 2). Sólo utiliza inversiones de bloques no diagonales que no contengan $\lambda$ en tu caso.