¿Es una función Lipschitz diferenciable?

Question

Me pregunto si esta propiedad se aplica a todas las funciones.

No necesito una prueba formal, sólo el concepto detrás de él.
Que $f: [a,b] \to [c,d]$ ser una función continua (lo que es más - es uniformemente continua). Y vamos a assusme eso él también Lipschitz continuo en este intervalo.

¿Implica este conjunto de supuestos que $f$ es diferenciable por todas partes en $(a,b)$?

Answer 1

No es siempre el caso, de hecho, un buen contraejemplo podría ser $x\mapsto |x-a|$. Pero por el contrario, tenemos

Teorema: Radamacher teorema dice que cada función de Lipschitz es casi en todas partes diferenciables

Multa de una buena prueba de este teorema aquí: Primaria Prueba de Rademacher del Teorema - James Murphy o por medio de la distribución de la teoría de la

Answer 2

La función $$x \mapsto \left|x\right| es Lipschitz-continua (con $k=1$) pero no diferenciable en $0$.

Answer 3

No, no implica $f$ es diferenciable.

¡Prueba $f(x) = |x|$ como un ejemplo!