23 votos

¿Es una función Lipschitz diferenciable?

Me pregunto si esta propiedad se aplica a todas las funciones.

No necesito una prueba formal, sólo el concepto detrás de él.
Que f:[a,b][c,d]f:[a,b][c,d] ser una función continua (lo que es más - es uniformemente continua). Y vamos a assusme eso él también Lipschitz continuo en este intervalo.

¿Implica este conjunto de supuestos que ff es diferenciable por todas partes en (a,b)(a,b)?

38voto

Guy Fabrice Puntos 21

No es siempre el caso, de hecho, un buen contraejemplo podría ser x|xa|x|xa|. Pero por el contrario, tenemos

Teorema: Radamacher teorema dice que cada función de Lipschitz es casi en todas partes diferenciables

Multa de una buena prueba de este teorema aquí: Primaria Prueba de Rademacher del Teorema - James Murphy o por medio de la distribución de la teoría de la

20voto

Atmos Puntos 470

La función $$x \mapsto \left|x\right| es Lipschitz-continua (con k=1k=1) pero no diferenciable en 00.

6voto

6005 Puntos 19982

No, no implica ff es diferenciable.

¡Prueba f(x)=|x|f(x)=|x| como un ejemplo!

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