Suma de los factores de secuencia consecutiva

Question

$24$ puede ser escrito como $2\times 3\times 4$, $2\times 2\times 6$, $1\times 4\times 6$ o $1\times 3\times 8$.

Las sumas de los triples son $2+3+4=9$, $2+2+6=10$, $1+4+6=11$, $1+3+8=12$.

Que es una consecutivos de la cadena de $9$, $10$, $11$, $12$ de longitud $4$.

Hay otros números, en lugar de $24$, ese factor en triples, donde los triples' sumas forma consecutiva cadena mucho más que eso - como te gusta?

EDIT : El número 1441440 está hecho de triples que la suma de cualquier número de 343 a 377.

Answer 1

Si usted está dispuesto a dejar que el factorizations ser grandes (pero todos de la misma longitud), entonces las potencias de 2 se puede producir muy largas cadenas de números enteros consecutivos a través de un 22/14 de intercambio. Por ejemplo,

$$64 = 2\times2\times2\times2\times2\times2 \to 12$$ $$64 = 1\times2\times2\times2\times2\times4 \to 13$$ $$64 = 1\times1\times2\times2\times4\times4 \to 14$$ $$64 = 1\times1\times1\times4\times4\times4 \to 15$$

... y aprovechando las grandes potencias de 2, claramente pueden hacer arbitrariamente largas cadenas. De hecho, la anterior se puede extender un par de veces más por una alternancia de 44/28, que nos permite el incremento por 2:

$$64 = 1\times1\times2\times2\times2\times8 \to 16$$ $$64 = 1\times1\times1\times2\times4\times8 \to 17$$

Si esto se siente "cheaty" con todos los extra de factores de 1, sólo se puede construir cadenas como

$$1024 = (2,2,4,4,4,4) \to 20$$ $$1024 = (1,4,4,4,4,4) \to 21$$ $$1024 = (2,2,4,4,2,8) \to 22$$ $$1024 = (1,4,4,4,2,8) \to 23$$ $$1024 = (2,2,2,8,2,8) \to 24$$ $$1024 = (1,4,2,8,2,8) \to 25$$

Esto sólo utiliza los dos "intercambios" de arriba, y sólo tiene un único "1". (Y claramente se generaliza para construir cadenas largas).