Expresar un grupo abelian dado como finito de generadores y sus relaciones, como una suma directa de grupos cíclicos y encontrar las correspondientes generadores.

Question

De acuerdo a la página 158 de Dummit y Foote del Álgebra Abstracta (3ª edición):

Teorema. (Teorema Fundamental de Finitely Generado Abelian Grupos) Deje $G$ ser un finitely generado abelian grupo. Entonces

(1) $G \cong \mathbb{Z}^r \times Z_{n_1} \times Z_{n_2} \times ... \times Z_{n_s}$, para algunos enteros $r$, $n_1$, $n_2$, ... , $n_s$ la satisfacción de las siguientes condiciones: (a) $r \ge 0$ $n_j \ge 2$ todos los $j$, y (b) $n_{i+1} \mid n_i$ $1 \le i \le s-1$

(2) la expresión (1) es única: si $G\cong \mathbb{Z}^t \times Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times ... \times Z_{m_u}$ donde $t$ y $m_1$, $m_2$, ... , $m_u$ satisface (a) y (b) (es decir,, $t \ge 0$, $m_j \ge 2$ para todos los $j$$m_{i+1} \mid m_i$$1 \le i \le u-1$), luego $t = r$, $u = s$ y $m_i = n_i$ todos los $i$.

Pregunta: Si un grupo abelian se expresa como finito de generadores y la definición de sus relaciones (por ejemplo,$G = \langle s,t,u,v \mid s^{4}t^{2}u^{10}v^{6} = s^{8}t^{4}u^{8}v^{10} = s^{6}t^{2}u^{9}v^{8} = e_G\rangle$), cómo calcular y expresar el grupo como una suma directa de grupos cíclicos y encontrar los correspondientes generadores de satisfacción de las relaciones? Podría alguien explicar el procedimiento de cálculo y mostrar algunos ejemplos desarrollados? O alguien podría señalar que los libros de texto enseñado tal procedimiento de cálculo con ejemplos desarrollados y en que páginas/secciones?

P. S. 1 Aunque no puedo encontrar que los libros de texto enseñado tal procedimiento de cálculo, Derek Holt dio un enlace a un documento PDF de enseñanza de tal procedimiento de cálculo en su comentario.

P. S. 2. Podría alguien responder mi 2º comentario de lhf la respuesta y explique cómo encontrar el 4 generadores en $C_2 \times C_2 \times C_{\infty}$ la satisfacción de las relaciones?

Answer 1

La herramienta para ello es el de Smith de Forma Normal, una especie de eliminación Gaussiana para el PID.

Por ejemplo, $G = \langle s,t,u,v \mid s^{4}t^{2}u^{10}v^{6} = s^{8}t^{4}u^{8}v^{10} = s^{6}t^{2}u^{9}v^{8} = e_G \rangle$ escrito de forma aditiva, la matriz es $$ \left( \begin{array}{cccc} 4 & 2 & 10 & 6 \\ 8 & 4 & 8 & 10 \\ 6 & 2 & 9 & 8 \\ \end{array} \right) $$ cuya Smith Forma Normal es $$ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \right) $$ como se calcula mediante Mathematica usando el código mencionado aquí.

Esto significa que $G$ es generado por los cuatro elementos de la $g_1, g_2, g_3, g_4$ tal que $1g_1=0$, $2g_2=0$, $2g_3=0$, y no hay restricciones en la $g_4$, y por lo $G \cong C_1 \times C_2 \times C_2 \times C_{\infty} \cong C_2 \times C_2 \times C_{\infty}$.

$g_1, g_2, g_3, g_4$ se obtienen a partir de $s,t,u,v$ mediante la aplicación de las matrices de $P$ $Q$ tal que $PAQ$ es la matriz diagonal de arriba.

Todo esto está explicado en varios libros. Uno es Finitely Generado Abelian Grupos y Semejanza de Matrices sobre un Campo de Christopher Norman. Un corto de la cuenta aparece en Jacobson Básicos de Álgebra I.

Answer 2

Si G tiene generadores {$a_1.... a_r$} donde: $|a_i|= \infty$ y {$b_1...b_t$} donde:$|b_i| = m_i$, entonces G = $\prod_{i=1}^r<a_i> \times \prod_{j=1}^t<b_j>$. Pero cada una de las $\langle a_i \rangle \cong \mathbb Z$ $\prod_{i=1}^r \cong \mathbb Z^r$ y cada una de las $\langle b_j \rangle \cong \mathbb Z_{m_j}$ $G \cong \mathbb{Z}^r \times Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times ... \times Z_{m_t}$