Squeeze/Sándwich Teorema que Implican $n^{th}$ raíz: $\lim _{ n\rightarrow \infty }{\left(3^n+1\right)}^{\frac 1n}$

Question

Encontrar $\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( { 3 }^{ n }+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ n } } } $ mediante el apriete teorema de

Me han llegado a través de maneras de hacer esto, pero ninguna mención de la presión (o sandwich) teorema. Sé que tengo que encontrar a $2$ funciones que exprimir la función dada, pero sólo puede pensar en el uso de $(3^n)^{1/n}$ es decir $3$ $\le $ función

Answer 1

Como se señaló en la pregunta, $(3^n+1)^{\frac{1}{n}}\geq 3$, y en el otro lado $$ (3^n+1)^{\frac{1}{n}}\leq (3^n+3^n)^{\frac{1}{n}}=3\cdot 2^{\frac{1}{n}}$$ Desde $\lim_{n\to\infty}2^{\frac{1}{n}}=1$, se deduce que el $\lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{\frac{1}{n}}=3$ por el teorema del sándwich.

Answer 2

IMPRIMACIÓN:

En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que el logaritmo de la función satisface las desigualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{x}{1+x}\le \log(1+x)\le x} \tag 1$$

para $x>-1$.

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} (1+3^n)^{1/n}&=3\left(1+\frac1{3^n}\right)^{1/n}\\\\ &=3e^{\frac1n \log\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}\tag 2 \end{align}$$

La aplicación de $(1)$ $(2)$nos encontramos con que

$$\begin{align} 3e^{\frac{1}{n(1+3^n)}}\le (1+3^n)^{1/n}\le 3e^{\frac{1}{n3^n}} \tag 3 \end{align}$$

Finalmente, aplicando el teorema del encaje a $(3)$ revela el codiciado límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}(1+3^n)^{1/n}=3}$$